ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M''^ 25. N°. 5^ G. 



, „ , -r r Cos.pxdx 1 f" 1 

 5. On a au moven de 1 mtci'ration par parties: I = ƒ ^ - ƒ d. Sin. vx = 



O o 



1| &M.px 1" Z"" —qx dx{a-\-\)^ 2(a + l) f°° xSw.pxdx 



o 

 iutégré s'évanouit pour les deux limites O et cc de x. Donc : y^I = 2 fa + 1) | — — — ^. et 



o 



,.„, '/•/'l ^, , ^, f'^ic'^ Cos.pxdx d^.pl ["'x^ Sin.pxdx 



par suite en dinereutiant; = 2(a4-l)| -— ; , -— ^ — 2(a+l)J — -; 



dp 1 (q'+x^)''+^ dp^ K -r I (^._j_^^.,^Q+2' 



o o 



^ d^.pl f^ -^ Sin. px dx d V 



il en resulte , ., — ;x^- 1 = — 2 (a 4-1) ƒ — — ^^ — — — • = 2 (a -f 1) -- , parce que Ton a : 

 dp'- J (7^ +.(;-)«+i dp 



o 



dl /" .«Sin m-d« (2-. pi dn dl (PI JI 



— = — ƒ ;. Encore a-t-on : — = p + 2 — ,donc:?j +2 — — nQ-I = 



dp j [q^--\-x')"+^ dp^ ^ dp-'^ dp ^ dp'^ dp '^ 



= 2 (a 4" 1) — ^ OH — — P?^ I =^ '^i équatioü diflerentielle dout riiitégrale u'est pas 



dp dp p dp 



connue sous forme fiuie et qui aiusi ne nous mèue pas au but, mais que nous avons déduite, poui- 

 faire remarquer Ie tour de calcul, qui y mène. [277]. 



ƒ* Sin.px dx dl f'^ Cos.pxdx cZ^I f'^xSin.pxdx 

 : doune: — = ƒ ^ „ . , — ", TT = — / , „ . r^ 

 r'i e-9'-\-x'- X dp j r^ e-<J'-{-x''' dp^ J r^e^1'+x- 







^ 1—1+ } = hr-^e^?'I = r-c2'i' H — — -e- 2?' d'ou 



o 



d^ ('l_-^e-Vl 



; L = }.2 e^y'. L'intégrale de cette équatiou différentielle est en s;éuéral 



2 7-^ 



oü rou a substitué ^ ^=^ y \ p- Dans les dernières intégrales, après les avoir développées, faites usage des 

 intégrales de Méth. 7, N'. 2, pouv obtenir les résultats du texte. Encore peut-on partir avec Schlömilch (*) 

 de la formule (c) en développant les intégrales suivant q, en multipliant par e— ? rf^ et en intégrant alors 

 entre les limites O et co . Il trouve, (lorsqu'on corrige la faute qui s'y est glissée dans une integrale 

 substituée) \T, = \n — {\ Arctg. 2 — -J-Z5) + iC — i-A — -JZ2 + ^ir— (l/=j+i Arclg. -|), donc C = A, la 

 constante de la Cosinus Integrale, et par suite il revient a notre résultat dans Ie texte. 

 [277] Voyez sur eet artifice de calcul Sekret, Journal de Liouville, T. 9, p. 193. 



(*) Schlömilch, Journal voii Crelle, Bd. 33, S. 325 

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