III. M^\ 26. W. 2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



par riutégration partielle : 



r I = 1 e-P^ Cos.qx. d. x^ = e- P^ Cos. qx. a''") — ƒ x' dx { — pe-P^^ Cos. qx — qe—P': Sm. qx\=p —- — q~ , 

 I o ] ' dq dq 



•'o o 



r -?= r r c, n ^ dl fZK 



rK= ƒ e-P^SiH.qx.d.x'' = e-P^Sin.qx..r/] — ƒ x'-dx{—pe-P^Sin.qx-\-cje'-P^Cos.qx}=^—p— — q-—. 



J o J aq dq 



o o 



Daus ces deux équatious les termes intégrés s'évanouissent pour la limite co de x, puisque x^e—P^ 

 est nul alors : de même ils s'aunulent pour la limite zéro de .r, puisqu'elle aimule Ie facteur 



dl dK , , ,, r. . 



X'' ; de plus ou y a substitue les valeurs — et -— , trouvees precedemment. Ces deux équations 

 ^ ' dq dq 



dl r dK r 



nous fournissent maiuteuant : — = — "z—, — ~ (pK + ^I), — - = — -— - — 7 {qH- — pi), et roii voit 

 dq p'+q^ dq P' + q- 



que ces difierentielles dépendent de I et de K simultanément. Ou en déduit : 

 dl dK r . —r l d.(V+K') 



dq dq p-+q- P +ü' ^ "2 



'''' -{V+K'-),ld.liV-\-K') = ^^^^,h{V-\-K^)^lrl(p'+q')+G ... . . («) 



p^ + q^' • "2 p'+q- -2 ' ' ' 2 



successivemeut. Encorè a-t-ou : 



l'^ -Kf ^ --^^{qlK-pV -pK^- ~qlK = -f^ (-pP -pK^\ 

 dq dq P^ + Q P +^ 



d'oii successivement : 



dK „dl , , /K\ 



I3- — K3- d.Arctg.\-] 



Pour déterminer les coustantes dans ces deux équatious (a) et [b), soit q zéro, ce qui reud K 



r r W lf/r(r)\2 1 



zéro et I = ƒ e-P^ x^-^ dx == — ^ (suivant Méth. 3, N'. 7), de sorte que-M +0^ = 



ƒ p'- 2 \\ p'' j j 



'o 



= i(p2 ^ 0) + C, C = /r (r), Ardg. ao = rArdg. 00 + C', C' = 0. Par la substitutiou de 



ces valeurs les équations (a) et {b) deviennent: 



1 r {r(r)}^ 



{d) 



Ardg.[-^)l=rArdg.-, ou r Ardg. {^--j ^ Arcs^n. ^^^^r^_^^^] == Arcsv,.)^ ^^ f, 

 = Arccos. \ > = Arccos. { ; (, 



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