ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. Hl. M''^ 28. N'. 1 — O. 



§ 2. MiiTHODE 28. SUBSTITUTION ü'üNE AUTRE VARIABLE. 



1. De cette methode eucore on a fait déja un usage assez frequent: et elle n'a de bornes 

 que dans la complication des expressions, lorsqu'on voudrait employer uue substitution quelconque 

 sans aucune distiuction : il faut au contraire la choisir telle, qu'elle donne lieu a une expression qui 

 est simple déja, ou qui par des réductions faciles peut Ie devenir. Encore faut-il prendre garde aux 

 limites, et avoir soin qu'elles deviennent détermineés après la substitution, puisque dans Ie cas 

 contraire on n'arriverait a aucun résultat, solidement établi. Ceci est uue observation qui ne s'ofl're 

 jamais auprès d'iutégrales indéfiuies, mais seulement auprès de quelques intégrales définies, par 

 exemple celles aux limites O et » , oii il entre des fonctions goniométriques. La substitution de 

 Sin. x = y, Cos. a- = y etc, quelque simple qu'elle rendit la fonction intégrée, ne peut être employee 

 ici, puisque a la limite supérieure oo de ^ correspondent les équations Sin. <x> =y, Cos. oo = y, 

 etc, qui sont tout-a-fait indéterminées [288], et d'oii par conséquent on ne saurait tirer la limite 

 supérieure de y. Passons a quelques exemples. 



2. Dans T. 18, N\ 12 (Méth 4, W. 6) soit r = ^^ et rj = { rj, il vieiU: 



f" .t-?-i dx r ( 1 q) Tip—l q) 



' -— "" ^'-^ ^^ "^' (pour r = 1 c'est T. 21, N'. 9). . . (1585) 



{r^-\-x^)P 2r(p) 



I-LT ,v.,^ 1 _i_ „ _ ^- </ 



18, W. 2 (Méth. 22, N'. 12) supposez --t^ = _ , d'ou 1 -\- x 



dx = — -^^ — . Les limites de y deviennent ici r et ± x , suivant que r est plus grand ou plus petit 



Tl ■ , /-" (y-r)?-! {r-q)P~ ^n f {r-y)P-^ {q—T)P-^n 



que r/. Il vient: J dy = , ry q, l dij = — — , r< q. 



J y — q cm.pn J q — y om.pn 



T — 00 



(T. 35, W. 16, 17). 



dx 

 3. La supposition *■ = e~2/ donne — = — (/«, tandis qu'aux limites O, 1, =o de x corres- 



[288] 11 est juste d'obscrver qu'il y a quelques auteurs (*) qui ne seront pas d'accoid ici, puisqu'ils 

 preniient Sin. oo = O = Cos. » . Nous ue nous sommes jamais servis de cette supposition, parce que les 

 valeurs du Sinus ou du Cosinus d'un are indéterminé peuvent varier entre 1 et — 1, et que ces fonctions 

 sont par conséquent indéterminées elles-mêmes ; a moius toujours qu'il n'y ait lieu de prendre l'infini comme 

 la limite de iL-ir pour l: rntier, infini : et cela n'est pas Ie cas ici. 



(*) e. a. Raabe, Diö'crcutial- und Integralrechnung. Bd. 1, N". 151, S. 235. 

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