Eï METHODES D'ÉVALÜATION DES INTÉGRALES DÈFINIE?. III. W\ 28. N . 5 — 7. 



dx 



5. Pour .X = Sin.iJ on n dx = Cos.ii dii, on = du: les liraites O et 1 de x 



•^ • "^ 1/(1— a;-^ '' 



n 

 cbnnent les liinites O et - de y. Ainsi 1 integrale (28) (Métli. ], N'. 7) devient : 



ƒ =— -i-'-^^^ -', s-^<l), = ^ .trccos. - ,(s-'>l). [290] .(1593) 



ü 



6. Lorsqu'on preud x=Cos.y, on a dx = — Sin.ydy, ou = — dy, avec les 



limitcs 71, et O de y, lorsque celles de x sont — 1, ü et 1. Dans la formule (183) (Métli. 1, 



W. 24) prenons q = -, alors il est: 



/'+' dx 2 n 



ƒ ., . , , ^--Arclg.^, . (1594) 



j p--\-q-x' pq p 



et celle-ci dnnue: 



/•^ Sin.xdx 2 Q 

 , , ,^ , = - Arcly. 1, ..... (1595) 

 P 'T 9' '^os.^ X pq p 

 O 



d'oü pour ;i=7 = l: T. 83, N". 1, et pour p=-Sin,l, q = Cos.X: ƒ -— — — = 



^ Il — Cos.^ A. otn.^ X 



o 



= -— —('T — 2?.). (T. 83, N^ 6). Les formules (336), (337) (Méth. 5, N'. 9) donuent encore: 



- 5 



f^xStn.xdx « 1"/' /(2n + 2) f^x'^Sin.xdx ^ 2"/2 /(l + 2n) 



ƒ ^7^ = — -S- — , . (1596), / = ^ ^-^ '-. . (1597) 



ƒ ICos.x u 2«.2 2n+l ^ ' / ICos.x i 3"/2 »j ' 

 O •'o 



dy dx 'T n 



7. De la substitution x^ Tang.y il suit que dx = ou = (^w, etque O, -, -, 



Cos.- y 1 -j- Jï'^ 4 2 



seront les limites de y, correspoiidant aux limites O, 1, cc de x: encore faut-il observer que 



1 — x'^ = — — 7^. Dès-lors par les formules (7, 8) (Méth. 1, N'. 4): 

 Cos.-^y 



f ^ ^_Cos^xd^_^ _!__ h-^A^ (159,) 



J p^Cos.'^x-\-Sin.''-xSin.x-\-qCos.x p^ + 'i^ \'^P l' 

 o 



P ' g^--^- ^ -J— (ip. + ,4 .... (1599) 



J p' Cos.'' A' -|- Sin.'' X Sin. x -\- q Cos. x P^ + 9^ \2 p] 



[290] Drja déduite plus généralcment Mctli. 1, N°. 1.3. 

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