ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. IVP. 29. iNM. 



. . , r 



devient divergente ou périodique pour c nul. Ai'nsi l'intégrale ƒ e—'^^f{x)dx= F (c) reste finie 



o 

 quelquefois a raisou du facteur e—'^-^, qui par exemple pour Ia limite supérieure co de x devient 

 zéro et aiinule ainsi Ie terme correspondant. Mais lorsque c est zéro, cette circonstance n'a plus 

 lieu, et il se peut très-bien que Ie terine mentiouné devienue indéterminé ou infini. Pour sub- 

 venir a cette difficulté Ossian Bonket [299] a donné uu théorème, que uous déduirons ici, mais 

 qui ii'est plus exact dans Tapplication qu'il en fait. On a ideutiquement suivaut Partie Première N'. 4 : 



m^f{x)dic=Um.8 {m^f{a) + ,r."+^\f,a + Sj-\-...} = Lim.S.m" {/(a) + 7n'^f{a+8)-\-7n^'^f{a + 28) + ...}; 



ƒ 



supposous que Tiutégrale ait uiie valeur détermiiiée pour quelque valeur ?h, de m; la dernière 

 série sera convergente pour cette même valeur et 1'on peut démoiitrer par la methode d'AsEL [300] 

 qu'elle sera eucore convergente pour quelque valeur ?7J moindre que wi,.*Car depuis un terme 

 quelconque ^ième j^ g^rie est: 



(m \ P'^ 





Or, comme — est •<. 1, I — | , — j sont des quantites décroissantes: en outre les autres 



facteurs constituent une série convergente, et cette série est renfermée entre deux limites finies A 



. , f m\P^ , . l m\pS 



et £. Dès-lors suivant la Premiere Partie N'. 13, il est - — A <^ série pour m <^ — ) B. 



De plus la série étant convergente pour m,, les graudeurs A et J] s'amoindrissent de plus en 



/ m\P^ 

 plus, lorsque Ic nombre p augmente; et dans ce même cas la fractiou I — \ diminue aussi; 



donc les limites, entre lesquelles se trouve renfermée la série pour ?«, approchent graduellemeut de 

 zéro, lorsque p devient plus grand, et la série primitive est convergente pour cette valeur ??i: donc 

 l'intégrale définie, qu'elle exprime, est finie et déterminée. Par conséquent on a Ie théorème suivant : 



Théorème. Lorsqu'une integrale | m^f{x)dx a une valeur déterminée P (m, ) pour la valeur 



m, de m: alors pour m^<^in^ Tintégrale aura pour valeur '^{m^), quoique primitivement cette 

 integrale ne valüt pas pour cette valeur m^. Toujours est il sous-entendu que la fonction S, inté- 

 grer ne devient pas iufiuie pour cette valeur in^. 



[299] O. Bonnet, Journal de LiouviUe, T. 14, p. 249. 

 [300] AbeIv, Journal von Crellc, Bd. 1, S. 3U. 

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