III. ]VP% 29. N°. 1, 2. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



Tout ceci est exact, mais Ie raisonnement ne vaut plus lorsque avec Bonnet ou prend pour 

 m, uue valeur plus grande que m^, même dans Ie cas que TOi converge vers m.^. Dans ce cas 

 Ie résultat peut être valide ou non, sans que l'on puisse s'en assurer. 



Aiiisi dans les intégrales de Méth. 4, W. 1 1 Ie facteur e-l'^ = [e-py devient (e")^ = 1^ = 1 



ƒ" r" 1 



Cos.qxdjc ;= O, J Sin.qxdx = - est par hasard fautif. Au contraire 



o o 



/"^ . dx q n 



Sin. qx — = Arclg.- = — , 



O 

 ce qui est vrai par hasard. 



Pour avoir eucore un exemple tranchant de la uon-validité de cette methode, preuons la diflc- 



C'^qCos.px — xSin.px 



reuce des intégrales • T. 205, N^ 5, 6 (Me'th. 24, N". 4): ƒ ^ ^^ — ; '— dx = O, 



j q' -\- x'- 



O 

 f^ qdx 

 (T. 209, W. 17), et posous-y p zéro, il vient: / ~^^ — J= O, ce qui repugne a la valeur 



o 

 trouvée Méth. 1, N^ 3. 



J'ai cru devoir iusister uu peu longuement sur ce point de l'analyse, parce que Temploi 

 illégitime de cette methode a roené assez souvent a des fautes dans les résultats. 



2. Mais il y a un autre cas, oü cette methode nous a déjS, quelquefois rendu service : savoir 

 lorsque la valeur zéro de quelque constante annule a la fois la fonction a iutégrer et la valeur de 

 l'intégrale: alors on peut pourtaut acquérir un résultat exact. Ce cas se présente entre autres auprès de 



ƒ1 /l —r9y 1° 1 

 xP- 1 dx = — — ; — —7- et en 



o 



/•» / 2\a la,l la/l 



passant a la limite zéro de q [301] : ƒ ( /- xP-^ dx = - — ; = -^. (T. 157, N\ 2). [302]. 



"o 



, „ . l — rcg O , ., . , ^ , ,■ ■ l—:ci —Ix.xg—l 



iSOll Puisque est — pour o zero, il vient par la regie ovdmaire = — = — lx. 



J ^ r^ O ' -' r o ^ ^ 



[302] Comme on tvouve d'unc autre maniere Méth. 33, N'. 7. Substituez xP — y, vous aurez, après 



avoir multiplié par 23«+l : j \i-\dx=^ 1"/', (T. 42, N". 1), d'ou encore, parce que les intégrales 



o 



précédenles valeiU tout de même pour un a fraclioauaire : ƒ /l- dx = T (p). (T. 42, N\ 2). Diffe- 







/■' / 1\''~' 

 renlitz-la par rapport a ^;, il est: I Z- Ux.dx = d. T (p). (T. 42, N'. 8). 



O 



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