ET METHODES D'ÉVALÜATION DES LNÏÉGRALES DÉFINIES. 111, M^\ 30. N\ \ — O. 



4. JIKTilODE 30. D^VELOPPEMENT DE LA FONCTION INTÉGRÉE ET DE LA VALEUR 

 d'uNE INTEGRALE EN SERIES, DONT LES TERMES GÉNÉRAUX CONSTITUENT 

 UNE NOUVELLE ÉVALUATION. 



fb 

 1. Lorsquoii couuaït une iütégrale tlétinie i f(p,x)dx=^'¥{p), et que f{p-,x) et F 



ip) 



peuvent se développer eu des séries, dout 1'argument est unc même fonction de p, on peut con- 



clure que Ie teruie géuéral de la série de I'(p) est la valeuv de l'intégrale qui contient Ie tcrme 



général de Ia série de /(p,.i'). Ainsi quaiid on a /(p ,.«) = .S A„p", et F(p) = .2'B„p'', on aurait : 



rb 



I Andjc = B„; OU lorsqu'ou avait f{p,x) = 2 knCos.np, E (^)) = 2BnCos.?ip, il en résulterait 



rb 

 encore : 



ƒ 



fb , . . 



I An div = B/j. Dans ces deux exemples A„ est uecessairemeut uue fonction de x. 



r Cos.pxdx 1 1 ^ . 



2. Ou trouve (Méth. 4.1, W. 11): j f — ,— = ; = --Sec.{pi), 



'o 



Sin.pxdx ■■^=^ =^ iCotApi). Pour la iiremière on a C. P. 67 et 76, 



e'^x^i f eP — e-P ^f J i 



oo(_l)« 1 ^ la (—1)" 



Cos.vx = 2- ^»2)i^.2n —Sec.(ï>i) =—2 J.H«]3., • or, comme les termes "eueraux pour 



^ o 1-"^' ^ - o l-"/'^ ' ' ' o l 



. r x^-'^dx 1 



n = n ue différent que par les facteurs x-" et B2n, on en tire: 1 ; ; — ^-Bon. 



^ ^ . / eè'Tx-l-e-i'r.r 2 



o 

 (T. 120, N''. 14). Pour la seconde il faut preudre la différence — Sin. px + Z Sin. 2,p x = 



ay 22»-T-2 1 



= ^ ^ — (— l)"p2H+i ^.«+1^ ;--i jaquelle correspond Ia valeur — i Cot. (pi) -\- 2i Cot. [2, pi) = 



00 22n+2 — 1 22"+i 

 = — iTang.[pi) = 2 — ( — l)" p-''+^ Ban+i (C P. 74). La comparaison des deux 



x-"+^ dx = B2«+i. (T. 118, N'. 15). 



e'f^ — 1 n + 1 



o 



ƒ'" Siii.p.vidx l I „ 1\ /"* Sin.pxidx 1 ,^ 

 —_ = --M Cosec.p , ƒ -r- rr;=77* f9-P- 

 o o 

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