III. lW% 35, N'. 4. TÜÉORIE, PROPülEÏÈS, FORMULES DE TRANSFORMATIO.X, 



4. Lorsqu'on difiereutie les intégrales (1201) et (1202) (Méth. 18, N'. 11) a ibis par 

 rapport a s, on obtient: 



, Cos. I p Arclg. - \ Cos. \[a-\- 1 ) Arctg. 

 (q- -\- a;''-)ir' (s'^ +A'2)è(a+l) 



r__\l__l_li. '■[ ' '^ ['^ 'l dx, (1686) 



^ ^^ ,j ^ „ 5üi. ( p /l rctg. - J Sin. j (a + 1 ) Arctg. ^ j 



"" 2 l«/i (^ -I- s)P+« ~" j "7?^ 4-.i' = )^^ ^ ■ [s-- +«ï )!(«+!) 



a>Cos. [p Arctg. -\. Cos. (a -}- 1) .4rc^(/.-| 

 •o 



~ 2P+°+' 1"" 5P+« ~ J iq'^ +a;»)è(o+p+i) 



-c/.t-. [3:il] (1687) 



'o 

 Peur s = q elles devieunent : 



dx, (1688) 



(g^+«'^)5(a+P+l) 



/ x\ ( X) 



„„ , .co i'in. p Arctg. ~ . Sin. < (a + 1) Arctg. - - 



!L_/"^_i__r r %/ r^^ %•,, (1689) 



Polytecbnique, Cah. 16, p. 215, et par Catal.vn, Journal de Liouville, T. 5, p. 110, qui la fait depeiidre 

 de réquatioii différentielle : 



la- — ^"+/ r^^...±-— = (a) 



\\j dp-' ^ [2j dp' dp^-^ 



ne-P «-1 2" r(3a— n — 1) 



d"ou Ia (notre integrale) = ■ 2 — p", et donc : 



^ ° ' 22a-ir(a) o l"/> r(a — n) '^ 



Ia = ; . — 1 e-P^(y' — 1)"- 

 {r(a)}^ i 



^3/ e*) 



Serket au contraire dans Ie Journal de Liouville, T. 8, p. 1, démoutro la formule (i) pour un a aussi 



. , r 



fractionnaire, et remonte vers l'équation différentielle (a); mais il se sert de 1'intégrale ƒ Cos.pxd.v = O, 



o 



/''* / Sin. px n\ dx 



qui est uvidemment fautive: or, supposons dans son raisouuement K = / I — -| TT""; T~ > 



^ j \ X %} {\ +*•*)« 



o 

 nuUe pour a zéro, alors il se trouve K au lieu de 1 dans (<(), et celle-ei est exacte, puisque K„ s'évanouit. 



c?« 1 d" s 

 (3311 Puisqu'ona: Ui + s)-P = (—1 )«//'/! — , ^ . , ~~ ~,— = 



Cos. \(a + 1) Arctg. -| . Sin. ](« + 1 ) Arctg. '-) 



f—nila/l— _i ll^ = f — Hal*' 



Pa^e 572. 



