III. W\ öö. N\ 9. THEORIE, PROPRIÈTÉS, FORMULES DE TR.VNSFORHATION, 



/"" eP^ — e—l'^ 

 9. On a T. 38, N''. 13 (Métli. 22, N'. 14), au moyen de C. P. 70: | Jx = 



J e2,r.r_] 



111»! 



■-Cot.-p=2 )>-" 'Bo,i_i: difierentious-la ia — I fois par rapport a v, il vieiit: 



'■y -2 , 1 2n/l ' 111 / ' 



ƒ 



p 2 i' 1 ]2«;i 



"epxA.e-P^ er, (On _2a4- l)2a-i/i ^ i »2„-2.. 



e2T:t_l 12«,1 ^ 2„ 12n-2a;l -" "V ; 



OU la sommation commeiice par la valeur a, puisque toute valeur de n müindre que a doit 

 être e.xcluse, la diflereiitiation de ;i2n— i ^e pouvant eiigendrer des puissances iiégatives de p. 



Prenons-y p zéro, alors il ue reste de la série que Ie premier terine ^Boa— i, qui ne contient 



/«'^2a— I ^j, ] 



VtTt 7= T'^^a-l- (T. il 7, W. 23). [338]. Cet artilJce pour obtenir 



c2Tx_l 4a 



un rcsultat iiiii par rintennédiairc d'uiie série iiifiiiic est assez curieux, pour que nous eii donnions 

 encorc un cxeniplr. Pour cela multiplious la même integrale T. 38, N'. 13 (comme sa trans- 



ƒ'" CP'^ fc'— P-^ 1 111 

 Cos. p dx = — Cos. p Cot. -p + Sin. », 

 e^" — 1 ' p '^ 2 2' 2 '^ 

 o 



ƒ — ~ — Cos. p dx = ~ Cos. p — Cosec.p-\-Sin.p. Afiu de pouvoir les difierentier a fois par rapport 



"o 



d" 1 



a p, employons dans les intégrales la formule .eP'-' Cos.py = - {ePl^ K»/'')(;b -f ^/i)" + eP(^-!J') (x — yi)"] : 



substituons d'abord dans les valeurs les expressions en coefficients Hernouilliens de C. P. 70, 72 

 avee C. P. 67, 68, et diflerentions ensuite, alors il est : 



' ( 1 + xi]^»-'^ { eP'-'-^) + eP(^-0} — ( 1 — .ri)2o - 1 {eP(^+'^ + e-Pi''+''>] dx 



i e^"^— 1 ~ 



= (- ^YÈ f-^-^ + i- ir-."--'[ ^ . (17. 



' (1 -(-A7:)2'^-> (eP('--r) + cp(^-ó] —(1 -,,.i,'/)2a- l [«p>+/) 4- e-p(»;+0} dx 



i e'f -r — 1 



oo ,22«-l_l 2)1-11 p2"-2« 



= (— 1)« ^ Bo„_i +(_!)« ^ (1711) 



OU les sommations commencent par a pour la inême raison que ci-dessus. Maintenant annulons p, 



0) 



[338] Uéja dé.iuite Métli. 30, N". 4. 

 Pasce 578. 



