ET METHODES D'ÈVALU.VTION DES INTÉGRALES DÉFINU-S. IlL M'". 36. N\ 1, 2. 



oh en géuéral la dernière integrale déduite peut acquérir une forme entièrement differente de Ia 

 première integrale, que Ton suppose donnée. Toutefois ce raisonnement vaut seulement dans Ie cas 

 oü Ie terme déja intégré est déterminé et fiui. Ce terrae n'est autre chose que Févaluation d'une 

 integrale dófinie, dont on counait Fintégrale iudéfinie, suivaut la Methode Première; il faut donc 

 übserver ici la même cliose que kVbas: c'est-a,-dire, Ie produit ƒ(«). r(a;) doit rester continu entre 

 les limites a et 6; sinou, il faut calculer la correction nécessaire suivant la Methode Deuxième. — 

 Ensuite ce produit doit être déterminé pour ces limites elles-mêmes; en efl'et, il arrive souvent 

 qu'il se présente sous une forme indétermiuée, mais alors il faut employer les régies usueiles pour 

 se convaincre que la valeur en est vraiment indéterminée, ou qu'elle se'laisse déterminer. — Et c'est la 

 ce qu'il faut toujours considérer en troisième lieu, car si ce terme était iudéterminé, la seconde in- 

 tegrale serait indéterminée par conséquent. Mais lorsquMl a été satisfait a toutes ces conditions, 

 c'est- adire, lorsque Ie produit ƒ (*). E {x) reste continu, fiui, déterminé entre les limites a et b (iucluses), 

 réquatiou (ti) est certaiuement d'uu usage interessant dans la recherche d'iiitégrales défiuies. [350]. 

 2. Nous allons prendre successivement les fonctious x, x", l{a-\-bx), Sin.x, etc, Arcsin.x, 



Ardy.x, ITg. \~±x\ etc, pour E(.t), et nous commenceroiis par la supposition E(.e)=a:. 



Or, toutes les intégrales définies sont dans ce cas, puisqu'ou u'a qu'a séparer Ic dx ; mais dans les 

 exemples suivants nous ferons seulement usage de celles, qui fouruisseut un résultat simple et nou- 

 veau. Ainsi Ton a (106) (Mctb.1, jNTM*) = -\ —1 x '>U;]}-f_± — 



^ '^ ' l±2rCo8.x-\-7-\ ] ( l±2r- 6-05 .r+rï)^ ' 



r 2 x Si7i. xdx 1 I TT 1 1 ==F '■) 



/ {\±2rCos.x+r'^)'^~ r |4(1 + r^) ~ 1 — r- ^ '''^^^" 1 ± j-i ' ' ' " ' ^^"^ ^'^' 

 o 



V TT sr 



X 1" f- 2i! Sin.xJx f- X 



(109)et(110)(Méthl,NM5) = — — -/ x—^ ^-donc:/ — 



+ g Cos. x) ' 

 o 

 1(1 p 



n il p . qt 



= T~r+- 7 U-TT7^ ~ArccosM,{p^>q^-) (1719) 



4.p^ q p' — q' {Zp 2?l/(p^— ï') p] 



4/>^7 q^'—p'- '2p •Zq\/{q^—p'') p i 



X i ^ f^ 2n Sin. xdx [^ xSin.xdx 



(in)et(112)(Méth.l,NM5)= — / x~- -,douc:/ = 



^ ' ^ '^ (p-\.qC0S.xy\ j ip + qcos.xy' j {p + qCoS.xy 



o o 



= r---"-T,. (/>^ < 'i'h (1721), - v~r^^ [^-p^r^\' (p'>r-); ■ ■ (i7'i2) 



[350] J'ai fait usage de cette methode sous ce poiiil dt; viie dans uu Alciiioirè a.liiiis dans k'S 

 Verhandel, der Kon. Akadcmie van Wetenschappen te Amsterdam. Deel 2. 

 Pase 587. 



