i;i METHODES D'ÉVALUATIOX DES INTÈGUALES DÈFIMES. III. M''°. 37. N\ 1 — 5. 



et a y peuveut s'eflectuer séparémeiit, on obtient ainsi uue relalion entre deux iutégrales dëfinies 

 simples, dont Tune sera évaluée, dans Ie cas oii l'autre aura uue valcur connue [358]. Nous allons 

 traiter sépaiément de ces trois cas différents. 



2. Soit d abord connue unc integrale définie ƒ Y {x).f [x)dx = k, o\x Ton sait de plus que 



/'v , , f' fy 



ƒ(•■*')= ƒ '((■'-'!/) '^i/ ) '''lo''^ "" a eii changeant l'ordre des intégratinns : ƒ Y [x) (lx f >y[x,y)dti = 



I dij j F (cf). (j (.)-,?/) f/.r = A. Lorsquc maintcnant on connaït encorc la valeur de 1'intégrale 



p a 



défi 



/ 'F{x).if{x ,1/jdy = <i>(y), il sVnsuit : / ^{ij)dy == A. lei la valeur' de Tintégrale primitive 

 est encore en géuéral celle de l'intégrale trouvée. 



3. Dans Tintégrale ƒ xP— ' e— ^ /*■ t/x =r (/>). Z' (p) (Métli. J2, N'. 3)onpeutsubstituerlavaleur 

 o 

 [e-y—e-^!i) — (Mélh. 9,N'. '2-2), et l'on trouvc: T (p) Z'(p) = \ xV-^ c-^dx f {c -y—e-^l/) ~^ = 



y J J u 



o 



= ƒ .rP-' e-^dx l e-.'/ — — I .r/'-' e-'^dx f c—'^'J — = r (») ƒ e~y ~— j — ƒ •«'-' e-'!/+^)''dx = 



; } y j J y ' j y J y J 



o o ü o o 



= l'O') ( e-y^~ - ƒ '''^ ~~^--, (Méth. 18, N°. 2), = Tip) rL-y — -- 1 ^^■,d'oh: 



o o o 



\e-l' — r-;~:-\ ■ = Z' (/>). (T. 1:33, N°. 3). Pour /. Tunité on a: / fi--^' — = 



[R58] Cette methode, comme c!le se rencontre soiis la foruie du troisicmc cas, a etc proposée d'abord 

 par EuLER dans sou Mcmoire de formulis intcgralibiis diiplicatis*), ou il la déduit de principes de geometrie. 

 L.\i'LACE ut PoissON en ont donné depnis des applications frcquentes et heureuses; mais aiicun de ces auteurs ne 

 s'inquiète euf'ore du cas exceptionnel dont on a trnité dans la Première Partie N". 46 a 48. — Voyez encore 

 Lejelne-Dirichlet, Journal von Crelle, Bd. 4, S. 94; — Schlömilch, Journal von Crelle, Bd. 33, S. 3.53. — 

 Lo ffême, Grunerl's Archiv, Bd. 4, S. 71, Bd. 6, S. 200, Bd. 11, S. 174. — Arndt, Grunert's Archiv, 

 Bd. 11, S. 70. 



(•) Novi Commeiitarii I'etropulitrtni, T. U, Pars 1. .\. 1759, p. 7~'— lO.'i. 



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