UI. ar-% 57. N'. 15 — 15. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



i; (x) dx = I $ (?/) dy ; et lorsque a present l'une de ces intégrales est counue, elle donue une 



a p 



évaluatioii de 1'autre. 



Arctg. {p Tang. x) 



r^— — et 



Tang. x 



o o 



/'^ dx n \ ,, ^ r^ Arctq. (p Tg. x] fl> n 1 

 -- — ,^ , = . (Mcth. 1, N'. 17). Doiic: / dx ^ ^^ ^ ' = ƒ rf/). = 

 l+p-'Tg.^x 2 1+p ^ ' J Tang..v J ^ 2 l+p 



o 



= - ld.l{\-\-p} = -l[lJ^p). (T. 369. N\ 10). [373]. Pour p Vunhé oii a /Ir-c^^. ( ?>. .r) = .r, 



puisque .r reste toujours positif; doiic: ƒ -^; = -/2. (ï. 239, N\ 6). 



' 2 xdx n 



Tang. x 2 



15. Soit I = ' ^^■- -'- ' ^'-^ 



ƒ2 /•2 

 <S»j. xdx I 



ƒ Cos.* X -[- Cos.- p. Sin.^ x. Cos.^ y -\- Cos.- q. Sm.^ x. Sin. * y 

 o o 



= I Sin. X d.v I — ; r = 



/ J [Cos.^ X -\- Cos.'^p.Sm.'' x) -{- [Cos."^ (} — Cos.^ p)S{n.'^ x.Sin.^ y 



o o 



ƒ2 TT 

 Sin. xdx ,~r r — ttt"; ' ;; — ; — tt. — ;; — r(suivant la formule (406)) = 

 2[/{{Cos.^x+Cos.-'p.Sin.Kv){Cos.Kx+Cos.''q.Sin.-'x)y ^ " 



o 



n f- Sin. xd.v . „ 



= - / — — ■ ^-'T -z — ;; — ~ — ' — r . Supposous mainteuaiit Cos.x == 



2 j \/ [Cos. * X -\- Cos. '' p. Sin. ' x) [Cos. * x + Cos. * q. Sin. ^x)} ' ^ 



o 



= Cot.q. Tang.y, d'ou Sin. xdx = — Cot.q _ "{^ — ; pour x = — , an a O = Cot.q. Tany. y, 



Cos, y 2 



donc y = 0; pour x ^= O, on a 1 = Cot.g. Tang.y, donc y z=z q-^ et l'oii trouve: 



71 /"O — Cot.qdySec^ y n Cl dy 



^2J Cos.q.Sec.y.\/[Cos.^p-^Si!i.-p.Cot.^q.Tg.-y)~~2Cos.p.Sin.qJ \/[ ].—{l'-Tg:^p.Col.'q)Sin.''y}~ 



<l 



-^ p- — 'S {q ,\/{l — Tanii.' p.Cot.'^ n)\. Mais d'un autre coté on a aussi, en chauffeant 



2Cos.p.Sin.q »^"^^. ^ j t tn o 



ƒ'" dx n 



Arctg. px — ~ = -l[\ -f p). (1. 2(56, N". 3). 



PaTC 612. 



