lil. M. 58. W. l — 5. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



cette methode que Tintégrale doublé, c'est-ïi-dire la superficie d'uue surface courbe, reste toujours 

 déterminée et fiuie eutre les deux systèmes de limites, de soite que cette discussiou exige en 

 général des considérations géométriques spéciales. Mais ou peut réussir aussi par la substitution de 

 y = px, lorsqu'il faut intégrer d'abord par rapport a y ; car dans cette intégration alors x est 

 traite comme constant, et Ton a par conséquent dy = xdp, oü maintenant p est la nouvelle 

 variable qui remplace y. De cette maniere il se peut que la doublc intégration devienue pos- 

 sible;,[375]. 



2. Dounous un seul exemple de la première methode. Pour 1=1 e—^'dx il est aussi 



o 



I- = 1 e~^'^ dx I e—y^dy =1 J e—i^'''+/r'>dxdy. Par rintroduction des coordonuées polaires 



o o 



ic = QCos.q, y = ijSin.qi, on a ,«'■' -\- y' = Q^, et 1'élément de la surface dx dy = QdQd<j,; en 



n 

 outre <> doit varier entre les limites O et oo , ij:_ entre O et — , pour obtenir l'espace compris dans 



dans l'angle droit, correspondaut aux limites O et x de <x et O et qc de y. On a donc : 



TT 



r [^ ■^ r 'T /•" , TT , r . i 



1=1 e—p'odo I dif = - le—P^odn= ƒ rf.e-P^ = -, doii: I = ƒ e—^'dx=-i/ n. 



o o 



(T. 36, N\ 7). [376]. 



3.' L'autre methode nous fournira des résultats de quelque intérêt et des relations, dout nous 



T{p) f" , . 



nous sommes servis déja antérieurement. — On a (Méth. IS, N'. 2): ' — = ƒ wP~' e~.'/('+"'c?»/, 



(l-j-xi)!> J 

 (1 



^^L^ / ^P-le-^C-"') ds, donc leur produit:-—^^^^= ƒ ?//'-• c-.'/('+"') (fy ƒ s/'-' e-^l'-^'Jrfi. 



{l-xi)P j ^ (l+.r^)P ƒ -^ •'} 



o "o o 



• dx 

 Multiplions cette cquation par e?^' — , et intégrous par rapport a x entre les limites l' 



/'■° gf/x(' dx /"" dx /■" /■"" 



{l+x-^)P X j X j -^ ' j 



o .0 



r r r (^^ 



= I e—yyP~^di/ j e~^zP~^dz j e'^l+^-y." — . Séparons maintenant les parties réelles et les par- 



[375] Voyez Raabe, Journal von Crelle, Bd, 48, S, 157. Consultez encore Bonnet, Journal de 

 Liouville, T. 14, p. 249, qui y fait des objectious page 253. 



[376] Autrement de'duite Métb. 4, N'. 7, Méth. 44, N'. 2. 

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