JIl. M"*". 30. N\ I, 2. THEORIE, PROPRIÉTÈS, FORMULES DE TRANSFORMATIOJV, 



§13. METHODE 39. COIIBINAISON DE DEUX INTJiGRALES PARTICULIERES d'uNE 

 ÉQUAÏION DIFFÉRENTIELLE Dü SECOND ORDRE. 



1. Lorsqu'on connaït deux iutégrales particulicres L et K de 1'équatiou difierentielle du 



dH dl , d^L ^ dL ^ ^ 



second ordre — - -\-f(q) — + 1' (q) I = O, il s'ensuit qu on a: — - + ƒ (9)^ h £ (q) L =^ 



dq- dq dq-' dq 



= 0,— +/(g)— + F(?) K= O, d'oü par 1'éliminatiou de E(5): JK^— L— j + 



( dl. dKI ,, d \^dl. ^dK] ^d-'h ^ d^K , . 



+ /"fo) 1 K — — L — / = 0. Maïs comme — . { K — — L — - == K — L --— , cette equatioo peut 



^■>^'i>\ dq dq\ dq { dq dq \ dq^ dq'- ' ^ ^ 



( dh dK\ 



'^' i^la"^ da] f rfL dK] , f dL dK) 



s'écrire: — — =i -:^lr— = d/ < K—- — L-— ( = — f{q)d'i : d ou par integratiun •■ ^ { K - — L— - V = 



du diL l dij dq ) (. dq dq J 



dq dq 



= — I f(ii)d(i+C, et K— ^ — L — = C e— //(ï)''?. Maiuteuaut lorsque L et K sout des iuté- 

 J dq dq 



grales défiuies, — et — sont aussi des iutégrales définies, faciles a déduire; et réquation pré- 

 dq dq 



cédente fournit uiie relation entre deux produits d'iutégrales délinies, kquelle douuera quelquefois 



révaluatiou d'une de ces fonctious. [386], 



n lx -\- q)P+'^ dx dK n {x -\- q)P dx fZ^ K 



2. Soit K = ƒ -\-~r— ^r-. aiors — = (p + 1) / ~ ;^J'' .,_^ et TV = 



o o 

 . A présent iiour obtenir une relation entre ces trois iutégrales, ou 



^.l-r(l_^.)l-.9 i ' 



o 

 trouve par la dificrcntiation: -— ^- ^ , ^•'--=p(.r-l-»)P-';i"-(l — «>'+ ri^'"-' (>+(/)?( l—aO'- 

 — s{l—.v/-'^{a:-\- qfx'- = (^ + j)P-' .ï'— ' fl — .r)'-! [—{p + r +s)[x-\-qY + 

 + [p + '' + 2/?7 -\- qr -\- qs) (.r + q) — pq (1 + ?)]' "^^''^ par Tintégration entre les limifes O et 1 , 

 qui fait évanouir Ie premier mr-mbre de cette cquation, et par la substitution des valeurs de 



[386] Cette methode est due u Abel, qui en ;i ivaili' ilaus un Mémoire dans Ie Jounial von CrcUe, 

 Bd. 2, S. 22—30. 

 Pasre 622. 



