i:t methodes d'évalüation des intégrales définies. mi. M"*'. 40. N°. 'i — 4. 



celle ei est une équatioii dittereiitielle intégrable, décluite des deux équations différentielles rlomiées; par 

 rinte'gratiou elle donue: zTk--- — I- 'P(9)IK1 =— ƒ (ƒ (?) + T' (7)) % — C', ouK-- — 



— 1 — — (fi (())IK = Cc"/W'?)+?(y)]'''/ (a). Lorsque maintenaiit 011 connait üne integrale particu- 



(^ 

 lière I' et K' de chaque équatiüii diflerenticUe primitive^ cette deriiière équatiou founiit uiie rela- 



dV rfK' ^ 

 tion entre les quatre intégrales définies I', K', ~— et —— , d'oü quelquefois on peut tirer la valeur 



dq dq 



de Tune d'elles. Il se peut encore que dans la discussion précédente la constante C, qu'il faut 



déterminer en donnant une valeur spéciale a quehjuc constante, devienne nulle, et que l'on ait par 



dl dK 

 K-^ — I — 



dl f/K dq dq J d \l] T 



conséquent: K - - 1 -^^— <, (.;) IK = O, d'oü O = "kT ' -'H'?)k = 7^- (kP^^^^K' 



l f ,1 



sou iutégration doni\e l = ƒ '( (?)'^'? + C', d'oü -; = C, e/?(9)<'ï, ce qui exprime uu rapport 



K y k 



entre deux intégrales définies. 



3. Pour donner une application de ce qui vient d'être discuté, il faut, comme dans la methode 

 précédente, déduire de quelque integrale définie I 1'équation différentielle en I, dont cette integrale 

 définie est par conséquent une integrale particuliere. Ensuite il faut prendre (p{q) telle, que la 

 seconde équation diflerentielle en K puisse se déduire de celle en I par lo simple changement 

 des constantes; car alors, ce même changement étant effectué dans Tintégrale définie I, on acquiert 

 évidemment une integrale définie K, qui est une integrale particuliere de l'équation diflerentielle 

 en K. Dès-lors on peut former l'équation (a) pour avoir la relation cherchée. 



ƒ■" dx dl f" da; 

 donne : — = — tl — , 

 XP ( 1 + .vY ( X -f- q)' dq I xP{l+ xY {iV + ./)'+' 

 U O 



- = t(t-\-l] I . Dans Ie but d'obteuir une relation entre ces trois 



dq 



O 



. , ,. . d ^ 



intégrales detinies, on trouve par la diflcrentiatiou : -. |j;'-"P (I -f- a-)'~'' (*• -f" ?)~ J = 



= (]-;?).p-P(l-f .•r)'-s(a--f g)--l-< -^[\-s)[\ + x)-'^r^-P{x-^q)-'^-i—[l-{-t){.r^-q)--^-tx^-P[\-\-xY-' = 



Lorsqu'on intègre cette équation par rapport 11 .r entre les limites O et oo, on vnit d'abord que 

 Ie premier membre s'évanouit; ensuite substituons nos trois intégrales définies, et l'équation 

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