UI. M"*". 40. N°. 4. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



p+t—pq — sq~Ztqdl ^ [f + l) (\ — q)q d^ l ^ ^^2 I 



dq 



O = (l—p — s — t)l + — + ; — , OU bien — ; + 



Ip + t s-\-'t\ dl l—p — s — tt ,,, . , ^, . , 



-|- I — 4" 1 = sera 1 equation differentielle en I, ou par consequent 



\ q i—ql dq 1 — 9 q 



p-\-t s+f 1 — p — s tt / . , 



Ton a f{q) = , Y [q) = . Pour en deduire Tautre equation differentielle 



q 1—q 1 — 9 q ' 



l—p—t s-\-t—l ^ d.<f{q) p + t—1 s+t—l ■ 



en K, prenons (1(7) = + , d ou — - — = "-b", '■> ^lois ü vient : 



q 1 — (/ dq q^ (1.— 9)' 



q 1 — q '- ^ dq 1 — q q 



d-K /2 — p—t 2 — s~i\dK Z—p — s — tt—l 



de sorte que l'on a: +1 — • 1- K = 0. Et 



dq- \ q 1—qjdq 1— 7 q 



celle-ci satisf'ait au but proposé, car en effet elle peut se déduire de I'équation differentielle en I, 

 et cela bien de deus manières diflereutes ; c'est-a-dire, on peut preudre au lieu de p, s, et /, pre- 

 mièreinent 1 — p, 1 — s, 1 — t, et ensuite s, p, 2 — p — s — i; de ces deux manières 1'équatiou 

 en K se change dans celle en I. On connait donc de celle-la deux intégrales particulières 



K, = I r. — ; -;-^ et K.,'= ƒ ; . Maintenant pour 



o O 



obtenir Téquation (a), observons que I {ƒ(<?)+ 7 (<?)}<'<? ^ |{ ^]dq = lq-\-l{l — q), 



et par suite e~f^fi9)+?{9)V9 = ■ ; que Ton connait déja — et que Fon a encore 



q{l—q} dq 



dK, f dx dK', 



r dx dK', , r dx 



dq ^ 'j a:^-l'{\+x)^-'[x^qf—t' dq ^' ^ ^ 'j ,^.s (j ^_^.),, (_j^^_[.^)3-p^s-« 



O Ü 



Donc pour l'intégrale K, on a : 



C"^ _dx r dx r dx 



~Jx^-P{\ -l-a;)i-«(.r + 7)>-' ^J xV (1 + 4' [x + <?)'+! ~^^~ ^ j xP [l + xy {x + q)' 

 o o o 



/ x'^-P (1 + .r;l-* [x + 9)2-' \ q 1 — q II xP (l + xy [x + qf 



o 'o 



r dx c , , . ,. 



X I ~; ■ — — = " — ■ (l>). Pour déterminer C, inultiplious par qll — o), 



j ^i-P(i + .r)i-. (.,-1-5)1-^ q{l-q) ' 

 o 



et prenons ensuite q l'uiiité; alors les deux premiers produits d'intégrales définies ont zéro pour 

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