ET METHODES Ü'ÉVALÜATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. Hl. M. 41. N°. % 5. 



Maintenant la séparatiou des parties réelles et des parties imaginaires nous founiit : 



exCos.fCos.{.f + xSin.q)(].v = e''Cos.fCos.{bSin.,iy—e<'<^'>^-'!'Cos.(aSin.q.), . (18J.7) 

 exCos.fSin.{q' + xSin.>i)dx=^ e''^^'''-9 Sin.(b Sin.q) — e'^'^'"^-f Sin.iaSin.q). . . (1848) 



Dans Ie cas spécial de a zéro et de 6 = — oo , on trouve en changeant a; en — x: 



I g-aCos.y Cos. (,p — X Sin. q.) dx = 1, . (1849), / e-^Cos. j> sin. (.p — x Sin. <f) dx = 0. . (1850) 

 •'o -o 



Prenous encore /(.r) = Cos.x dans la même formule, alors Cos. {(>{Cos.cf -\- iSin.cf)'^ = 



gPSin-f _|_ g-pSin.f ePS'n.'f — e~P^'"-f 



= Cos. [q Cos. if') -\-iSin.(QCos.(i) , et par conséquent: 



c'ipSm.f 1 



P = ^ j/ y^?^'i>.f _|. g-2p.SVn.5. _f. 2 Cos. (2 Q Cos. ,()], Tang. $ = Tang. {(> Cos. 'O T1/7~TT ' "^'"'^ 



/b^Cos 'f+iSin.f) 

 Cos. X dx = Sin. (6 {Cos. (f + i Sin. cp) — Sin. [« [Cos. q -\- i Sin. ij)) = 



a{Cos.f + iSi>:.f) 



= 1 V Cos.{<y -\- ^)dQ -{- i I P 5y !.(;}; -|- $)(/«, cc qui doune de nouveau les deux formules 



a a 



iudépeudantes : 



Cos. [p + Arctg. Tg. [x Cos. f)-^^^ I dx \/ \e''-=^Sin.<i _|_ e-2x.S»i.? + 2 Cos. (2a; Cos. o)] = 



= {ehSin.'f j^ Q-bSin.<f)Sin.i))Cos.<f)— {e'>-^^<'-'f -\- e--^S"''?)Sbi.{aCos.-i), (1851) 



/ Sim.lip -\- Arctg. lTg.{xCos.<f) --^^ I c/a- j/ [«-^''^'"•''' + « --■^■^'"■'' + 2 Cos. (2 a- Cos. p)] = 



= {e''S<'"-? — e-<'S'"-f)Cos.{aCos.(p) — {e'>Sm.y—.e-^^"'-f)Co.i.{bCos.^) (1852) 



Lorsque a = O, i = 1, la valeur de ces intégrales est respectivement : 



= {eS''"? ^ e-S'"-?) Sin.(Cos.<p), .... (1853) et («-S'"-? — e»'-?) Cos. (Cos. ^) (1854) 



3. Pour la formule (119 a) de la Partie Première, qui sera la plus facile a réduire ici, prenons 



/{x)=l{l-{-.v), ahTs:l[l+Q{Cos.<p-{-iSin:qj)]=yi[{l^QCos.qy+(>^Sui.''.f.]-\-iArctg.l T~j; , 



.et x(Q^'P)===2H^+^QCos.ip+Q''},iiiQ,if)=Arc(g\~~^-'-^--]; donc, puisque ƒ l{l-{-.v)dx = 



\l+QCos.fj J 



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