III. M"^'. 41. N\ 7 — 9. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



gpSin.rx g — pS»i.rx tt- 



f 



Sin.a: Sm.{pCos.rx) d.v = — {Cos.gr — 1); (1873) 



p- — 'Zpq Cos.x -\- q- pq 



et pour f{x) = Sin.rx [391] : 



/T gpSin.rx _1_ g—pSin.xr 

 -(p — iiCos.x)Siii.{n Cos.r.'c) dx = -Siti.qr, (1874) 



p^ — 2pq Cos. x -\- q^- 

 Sin.TX g — pSin.rx 





Sin.x. Cos.{p Cos.r .v) dx = — Sin.rir; (1875) 



^pq Gos.x -\- 'j^ pq 



'O 

 enfin pour ƒ (.«) = e''^ [392]: 



/*"■ » — q Cos. X „ 71 



ƒ -— -epC"*«Co«.(/9 Sin. »•.«)(?.'(-• = — (é?' + l) (1876) 



I p'- — 2,pq Cos.X^-\- q- 2p 



b 



/^ Sin. X , ' n 

 ■ ---, ;;eP'-«^-'-'^ Sm.{pSin.i\v)dx =^ [eV — 1) (1877) 

 p"^ — 'Ipq Cos. X -\- q' -Zpq 

 O 



_ S. Dans les théorèmes II (129), (130) prenons f{x) = e^ = ip(j), d'ou A„ = B„ = — - ; 

 alors par Ie développement des fonctions imagiuaires (voyez N". 7, Note) : 



fV''°"°"+S)'''"'-''Ca.s.(p'' &•«.«..). CoJf-Y «"-^4 dx = n + -È ^V TT q"'"^ • • (1878) 

 J '^ ' (\pj j 2 1 l«"/i iWi ^ ' ^ ' 



o 



f''/Co^''-MS}'^''-'''Sia.{p-Sin.ax).Si„.[lïySin.bx] dx = -1-^ — qa'n. ...... (1S79) 



J * [\pj j 2 1 l"" ' li!"'.i ^ ' 



o 

 Uaus Ie cas de q'' = p"-^^ et p^' = r, on en tire : 



/■f TT co 1 1 



ƒ er(Cos.djc+CW6i)Cos.(r5ui.rt.r).Co«;(rS(M.Z)a;)f/.« = 7r-|--.2"-— j -^j-'^^^^^^ (T. 296, JN!\16), 

 o 



/"^ TT o. 1 1 



/ e>-{Cos.ax+Cos.hx]Sin.(rSi.ii.a.v).Sin.(rSiH.bx)dx = -JS —-r'a+i')" (1880) 



ƒ 2 1 1""/' IMI ^ ' 



o 



9. Pour ƒ (.!,')= (l-f--»)"' on a par les théorèmes 11 (131), (132) (suivant les réductions du N". (i) : 



n' I { P -\- Q 'os. X ] 1 l — p'' Cos. rx 



ƒ (p - + %pq Coü. X + 7 Mi* Cos. I s Arccos. - t ' T^ , f I T. d-« = 



j\l^ -r fl Tl) Y \\/{p^ ^\-^p■JCos.x + q^-)]\\—%p'■Cos.rx+p^^'■ 



= ^,,. + _/,.^^( ^j qnr, (1\ .372, N'. 9), 



[391] Puisqiie : 2f{pe±''^') = 2 Sin. {p Cos.r.v±piSin. rx) = [c"Sin.xj^g-pSin.rx^ Sin. {p Cos.rx) ± 



± [ePS'n-rx — e-p Sin rx) Cos. {p CoS rx' . 



[.i92] Pavce que -. f ip g'±rx''j — gl' ^''"'■'■2^ {Cos. {p Sin. r.v) ± i Sin. (p Sin. rx)] . 

 Pa?e 034. 



