III. M"*". 41. iN'. 12, \ö. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



Eniiu soit ƒ (.r) = c^, d'oii A" == - j > a^ors d'après la Note du N'. 7 : 



Sin. ax dx 



el'Oos.xCos.[pSin.x) = -.S— -p« , ' (1907) 



X 2 I) 1"'' 



' „ Cos. ax dx 71 oo 1 



ei>Cos.x l^in_{^p Sin x) =-.2" p« ; (190S) 



.e 2 a 1"' 



doiit la somme doune : 



' ^ r ^ dx n CD 1 ir 

 el' C""'^ Sin. {ax + p Sin. x\ — = - JS —- p" = - el' (1909) 



ƒ 



Daus toutes les iutégrales qui out leur origiue de la formule II, ( 1 44) on peut prendre a zéro, inais 

 il ii'eu est pas de même dans celles qui dépeudent de l'équatiou 11, (1 4;3). Or, oii volt que daus celles-ci, 



pour a zéro, il faut leur óter Ie terme - Aj, c'est-a-dire, Ie tenne qui correspond a n zéro ; de sorte que 



daus uos iutégrales il faut soustraire -^ , ce qui rend les iutégrales (1S96), (1899), (1901), (1903), 



(1905), (1907) identiquement iiulles, tandis que les iutégrales (1898) et (1909) deviennent: 



ƒ" ff \-\-vCos v 11 dv T 

 {\-\-2pCos.x-\-p'-)\rSin\rArccos.\- ^^^ ~\\ — = - |(l J^p)r—\\ . . (1910) 



I 



epCos:rSin.(pSin.x)~ = '^{cP—l). (T. 392, N\ 14). 

 X 2 



13. La formule II, (155) doiuie licu a Tapplieation suivauto. Soit ƒ (.e) = Arcty.-, donc 



7 

 q . .,,... 



_/■(.»)= — ; lorsque nous contiuuous de dillereutier, il viendra (7^-l-^^)*'' pour dénomiua- 



9^ 4- A-^ 



teur. Le passage ;\ k iufiui fera donc évanouir tous les teruies qui dépendeut de k, puisqu'ils 

 out le coëfficiënt ~~rr , et que la fonction u intégrer nc pourra devenir iiiHnie avec k, mais devra 



C^b^ qdx ( 2/^ I 



rester fiuie. On a donc: ƒ /(l — 2/7 Cos.-v + p^) ^ = 2 {ircVj. — Arclij.')) /(l— p) + 



"o 

 t dx f libnA-xiX 1 2bi: — ;ri\ f xi\ i — xi t 2bn 



+'7 e^pf'"'^- (~7~) + '^""^- \ 'f ) - •■^'■'•''^- ['g )-'^'''^-~\ = 2.4,-c/sr.— .;(l_p) + 

 ' o 



} e^ — p\ \ii^ — X- -\- Zbnxij \q-—x'- — Ibnxij] q 



o 



+P I Arcig. — — ; = 2Arcfq. ./( l —p) + p I Arciq. —Ard^i. — ^ : 



o () 



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