ET METHODES D'ÈVALUAÏION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III, 1\P. 41. N'. \ó — 1G. 



oh dans les róductioiis successives des Arctangeiites, on a snpposé qu'ils devaicnt rester positifs. 

 Or, entre les üinitcs O et co de .r, Ie premier cliange de signe auprès de x = q, et reste négatif 



au-dessous de cette valeur; remplagons-le doiic par Ardg. — _ — pour Tintégration entre O et 7; 



•Zbn 



ƒ-'"' qdx 2b Jt f'1 dx 

 l{l—2p Cos. X + ?j^) -:--, — - = 2 Arctg. . / (1 — ;,) - pjt / • + 

 q^+x^ q ' e^ — p 

 o "n 



f'" (lx f l+\/{x~qV\ /•i' + v\! 



+ p I :^ \ Arctg. ( j—.hxtg. — — . Maintenant passons :\ la limite x de b, alors : 



o 



2bn=vi ,Arctg. =Arctg. 3c=-, et Arctg. \^ Arctg ~~ -" =0,donc parl'intrérale (82): 



q 2 \ zbn j \ 2on j 



ƒ 



" qdx 1 — pe~'i 



l[\ — 2,,Cos..t-\-p-')--~-=nl[\—p) + 7,l^-'^ = nl{\—pt-'J). (T. 41G, N'. 7). [397]. 



q^-\-x'- 1 — p -^ 



ƒ/' 1 



ijp (2 ^^) dy = — Sin. 2/w 

 Z.V 

 o 

 ,^(2ti) (0) = 1, donc: 



/ e-^-Sin.2px-~ = — 21/ u^ ;—---— (1911) 



J X o -Zn -\- l 1".' 



00 



15. Passons maiiitenant aux théorèmes (298) a (.326) qui se trouvcnt dans 1'addition B a la 

 fin de eet ouvrage. Il s'agit de trouver de telles sujjpositions u IV'gard de 'F [x] ^ f {a -\- h e"'^) 



que les fonctions -{r(a;i) + i'( — xi)} et — {^(a'j) — P( — .w)} acquièrent des formes utiles, 



souinises a la restriction de 11e pas être incompatibles avec ie développement de Taylor; on verra 

 que les fonctions uc sont coniplexes qu'eu apparence et que Ie facteur imaginaire s'élimine chaque 

 fois de la fouctiou par des transformations simples. 



16. Commenpons par cliercher quelques formes pour - {¥(xi)-\-'F(~xij] et ~{'F[xi) — F( — xiÜ, 

 et prenons a eet eflel : /, (P) = P', a = a,:=aj=... = ], b = b^=b.^ = ... = l, alors : 



- {F{xi)-{'Y{—.ri)] = - {{l+e"y+([ -^-e-'^^'y} = Z'Cos^-r.v.Cos.-srx, (a) 



-.{F(xO-F(-^0}=2^{(l + c'''0^ — (l+c-'n1=2'Co,v'-r,r.&-«^ (b) 



[397] Autrcment dcduite Méth. 23, N'. 11, Jlétli. U, N'. 7. 

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