LT METHODES D'ÉVALUATION DES LNTEGRALES DÉFINIKS. 111. i\P^ 45. N\ I, '2. 



II c;it ¥ [w) = - ., de sortc que a; — .r, — y, « est un diviseur et x, 4- y , i uiie 



raciue de Téquation t,^^ = O (a) 



Quaud cette équatiou a plusieurs racines inégales, rselles ou imagiiiaiies, il faut preudre la 

 somme des diverses correctious A, correspondautes a chaque raciue en particulier, du moins taut que 

 ces raciues soiit d'iuüuence ici, c'est-a-dire taut que leurs parties réelles et leurs parties imaginaires 

 se trouvent être entre les limites a et b, p et (j respectivement. Quaiid éucore m de ces racines 

 sont égaleSj il faut changer dans les corrections précédentes l'expression >/' (a;, +//, () dans l'autre 



- — , ^ '"Vr' , oö (m— 1)/ de'uote Ie nroduit 1. 2. 3. ... (m— 1). 

 (m — Ij.' ' 



Tout se fonde par conséquent sur la résolution de Téquation («}, et c'est dans ce but que 

 Cauchy a douné son calcul des résidus. Soit qu'on en ait besoin, soit que les racines de 1'équation 

 se présentent d'elles-tnêmes, c'est toujours la résolution d'une équation qui est Ie caractère remar- 

 quable de cette methode, dont nous allons ofi'rir maintenant quelques applications sur des intégralcs 

 générales. 



2. Premier Cas. Soit F (x -\- yi) = O ))Our chaque y ; preuons a = O, Z> = ^y) , p = O, il vient : 



/ [1' (•« + <li) — 1' i'-'-)] '^l-e = «■ / '[O — F (.'/(■)] 'Jij — A, d'ou : I F (x.,+ 'ji) dx = 

 •o -o -o 



= h{x)ch^-i rY{yi)dy-A. . . . (XLII) 



O o 



Deuxième Cas. Soit F(x -(- «; i) = O pour chaque x; pour a = O, ;:> = O, 7 = co , il est: 



/ [O— F(/,]f/.ï=i I [F.i + ^jj — F ji ]c/y--A, d'üi\ : [F(A')cfe = iY[l^W'l^ 

 o I) o o 



Troisième Cas. Soit F(± cc -|- yi) = O pour chaque y; prenons a = — x , b ^ :/d ^ p = O, 

 nous avons : 



/ [F {x^(ji) — Y{a:)] d.c =- i l '[0 — 0] <///— A, d'ou : f F {^' + <ji} dij = / 1^ {^) d-c — A- ■ (XL 



IV) 



Quatrième Cas. Soit F (cc -\- yi} = O pour chaque y, et F(d;4-^0 = O pour chaque .r; 

 soit en outre a=ü, i=cc,p = G, g =^ cc , on trouve: 



ƒ [0 — i\x)-]dx = i j lQ — Y(yi)]dy-/\, d'oü: j V{x)dx = i j ¥{yi)dy + L . . (XLV) 



o ü OU 



Cinquième Cas. Soit F(— x -f yj) = O pour chaque y, et F (a- -}- x i) = O pour chaque x: 

 pour a = — 00, b = O, p T= Oj Q z= cc, nous aurons : 



ƒ [O — F (.1-)] dx = i j [F (yi) —O^dy-L, d'oü : ƒ F {x) dx ^ — i ƒ F {yi) dy + A . (XLVl) 



— 00 



Pa^e 667. 



