lil. M''\ 45. N'. 2, ö. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES DE TRANSFORMATIOiV, 



Sixième Cas. Soit F (± x + 7/t) ^ O pour chaqua y, et Y {x -\- oo j) = O pour chaque .ï; 

 supposons a = — x> , b = cc , p = 0, q == x ,il vieut : i [O — F (a-)] dx = i J [O — 0] dy — A, 



—co o 



doi\: f 'E{x)d:c = A, . • (XLVII), donc aussi : f [f{x) + Y{—x)} dx = £x . ■ ■ (XLVIII) 



— O) o 



Septième Cas. Soit F(± oo -\- yi) = O pour chaque _?/, et Y{a; — x i) = O pour chaque .r; prenous 

 a = —X , b = X , p — — co, 5 = 0, alors : ƒ [F {a:) — 0] dx = i l [O — 0] dy — A, d'oii : 



l Y{x)dx= — A, (XLIX), et eucore: / {F {x) + F(— .r}} dx = — L (L) 



— w o 



Huitième Cas. Soit F( — x -\-yi) = O pour chaque y, et F (r ± x /) = O pour chaque x\ 

 et encore a = — qc , p =^ — oo, q = x , il est: 



(^' + 2/0 — Ol'^y — A, donc: ( ¥{b+yi)dy = — A« (LI) 



/\0-0y_,/V('. + ,0-O]..-^,.o..c./ 



Neuvième Cas. Soit Y {x J\-yi)-=0 pour chaque y, et F(«± qc?)=0 pour chaque y; pour 

 a== — a, b ■= X , p = — oo,9=QO,on trouve: 



ƒ [O - 0] (/.r = / ƒ [O — F (— a -f J/O] f'y — A, d'ou : / F (— a + yt) dy = A «" (LTI) 



— a — a —00 



Di\ième Cas. Soit F(± co + J/«) = ^ P°"i' chaque y, F(.«± » ï) = O pour chaque x; sup- 

 poirons a = — co, b = x , p = — x , q =i x , nous aurons: 



[O - 0] dx = t / [0—0] dy — Z., d'ou: A = O (A) 



ƒ [0 — 0] ciA- = t .1 



3. Ces dix cas divers, qui résument les priucipales applicatious que Caüchy a faites de sa 

 methode, donnent lieu a quelques observations. Dans les cas I a VI les limites de y sont O et 

 5, OU O et cc : donc pour toutes les racines réelles de l'équatiou [a), la valeur de y, zéro coïn- 

 cidera avec p, de sorte que les correclions relatives A doivcnt toutes être réduites k leur moitié: 

 de plus les raciues, qui auraient un y négatif, touibent hors des limites de 1'iutégration et par 

 conséquent Ton ne doit pas en tenir compte dans Ie calcul de la correctiou. Pour Ie cas VIT, ou 

 les limites de y sont — oc et O, la remarque que les racines réelles nécessitent uiie correctiou de 

 moitié moindre reste de vigueur, mais ici au contraire ce sont les racines imagiuaires a uu y 

 positif, dont on ne doit pas tenir compte, comme étaiit exclues par les limites de l'intégration. Enfin, 

 auprès des trois deruiers cas, ce sont toutes les raciues réelles et les raciues imaginaires de l'équatiou 

 (a) qui doivent servir au calcul de la correctiou A. et celle-ci reste toujours comme elle est, Ou voit 

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