ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. lil. M''". 15. l\\ ö, 4. 



par ce qui vient d'êtrc übseivé que les suppositioiis, (jui unt inenë Cauciiy a, ces dix cas, oiit Ie 

 caractère curieux et éiniiiemiDent utile, de nous laisser très-libres dans Ie choix de la fonction F, 

 et de simplifier néanmoins bcaucoup la recherche des raciues de l'équatiou («), taut qu'elles sont 

 nécessaires au calcul de la correction /\,. Quant aux résultats, il reste fi reuiarquer que les cas YI et 

 VII donnent lieu souveut ii une série, taudis que Ie cas X ne fournit rien qu'un résultat de ce genre. 

 Les cas 1 a V et VIII , IX donnent des formules doubles, lorsque pour chaque applicatiou spé- 

 ciale on sépare les fonctious réelles et les fonctions imaginaires. Ces deux derniers cas VIII et IX 

 trouvent encore leur application dans 1'iiitégration des équations diü'érentielles linéaires; mais c'est 

 des formules du Cas VI que Cauchy disait a, bon droit, // qu'elles fournissent les valeurs de presque 

 toutes les intégrales définies connues et d'un grand nombre d'autres." [413]. 



4. Passons maintenaut a Tapplicatiou de ces divers théorèmes. 



Cas I. Théorème XLII. Soit ]?(a') = e—^"^", üouc'F{x-\-yi} = e-'=''^-e<'-!/''{Cos2c- aiy~iSiii.-2c'^ xy) 



est toujours O pour x = cc; l'équation =^j-^ = e'^^^"' = O a pour racines .c = ± x i, et toutes 

 deux lombent hors des limites O et 7 de y, donc A == O, et eniin : 



j e-<^''i^+<!>T' dx = I e-'^^-^'dx — i j e—<^-^'J'T-Jy, d'ou a. l'aide de Méth. 4, W. 7: 

 o o o 



è^^l' ƒ e— c"^'" [Cos. (2o-- qx) — i Sin. (2(;* qx)] dx = -— \/ n — i j e'^'^\l^, et par la séparation des parties 

 O o 



r . . ■ 1 „ „ /"° „ , 



réelles et des parties imaginaires : ƒ e-'^'^'Cos.{2c'^ qx)dx= ~ e—'-'r^/Tt [414], 1 e-"^"-'' Siii.['2.c-qxdx = 

 o o 



== c-'-'T I e'^^'dx, rclation, propre u rajjproximation de riiitégrale au premier mcmbre, parce 



o 

 qu'il existe des tables calculées de la dernière integrale. 



[41 B] Sur cette methode de Cauchy ainsi que sur I'application du calcul des résidus, 011 pput coii- 

 sultcr outre Notes nombreuses dans ses E.terciees, suitout les mémoires suivants du raêiue auteur: 

 .Tournal de l'Ecole Polytochnique, Cah. 19, p. 510 — 592. Mémoire sur l'intégration des équations liné- 

 aires aux différcnees partielles et a coefficients constants. — Mémoire sur les intégrales défliiics prises 

 entre des limites imaginaires. Paris, de Bure. 1825. 69 pages 4°. — Mémoire sur les intégrales définies, 

 oii l'on donne une formule générale, de laquelle se déduisent les valeurs de la phipart des intégrales 

 définies déja connues, et celles d'un grand nombre d'autres. Annales de Mathématiques de Gergonnc. 

 T. 16, p. 97 — 108. — lleclierche d'une formule générale, qui fournit la valeur de la phipart des inté- 

 grales définies connues et celle d'un grand nombre d'autres. Annales de Mathématiques de Gergonne, 

 T. 17, p. 84 — 127. — Mémoires des Savants Elrangers de 1'lnstitut de France, ï. 2. 1827, p. 1. Mé- 

 moire sur la Theorie de la pröpagation des ondes, p.124 — 312. Notes. — Ibid. p. 599. Mémoire sur les 

 intégrales définies. 



[414] Qui est la même que T. 280, N'. 4. Voycz d'autres déductious de cettc integrale Méth. 23, 

 N^ 23, Méth. 2t, N^ 3, Méth. 32, N^ 8. 

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