lil. W\ 45. N'. 5, G. THEORIE, PROPRIÉTÉS, FORMULES ÜE TRANSFORMATION, 



5. Cas II. Théorème XLIII. Preuons F(a') =/(3')c"', donc ï(-^-|-^i)=/(^-}-yi)ec«'— ci', desorte 

 qu'il est ici F (.r + ao i) = O, pourvu que f{x -\- x i) iie devienne pas oc . L'équation («) donne 



— - e— cj:' = o, d'oü, par la suppositioii quant a ƒ(.«), seulemeiit «— "/ = q, dont Ia racine uuique 



f' . 



X = — w i lic tombe pas entre les limites O et oc de y. Donc ^ = O et : ƒ f{x) e"^^' dx = 



o 



= i ƒ {/(2/2)c~<^y — ƒ(''-' + J/ï)e''^'—'^.'') rfy. Supposons que par Ie calcul des quantités imaginaires 



O 

 on trouve pour la fonction u iutégrer au dernier meinbre e~" {/i (*') — «'ƒ■> (*')}i l'oi pi tire: 



ƒ f{x)Cos.cxdx = 1 ƒ, (.t) fi— '^•^ (?.c, ƒ f {x) Sin. ex dx = ƒ ƒ, (.?•) e— <^^ rfa-, équatioiis, qui par Ie 



o o 



développement (si toutefois ce dcveloppement est possible) de ƒ, (x) et de /j («.■) en séries ordon- 

 nées suivant les puissances de x, peuvent servir ïi exprimer les intégrales des premiers membres 

 dans une série de fonctions Gamma [4] 5]. 



6. Cas III. Théorème XLIV. Lorsqu'on suppose F (a-) ^ {<7 — xi)''~^ e-'^'^', W \ient ¥ {x-\-yi) = 

 = il ~\' y — xiY~^ e—'^i^'—y^^ e—-'^^'J', qui devieiit zéro pour . .r = ± co . Ensuite Téquation («) est 



1 1 ,„ 



= É*^'^" = O, dont les racines ,r = ± oc i tombeiit toutes deux hors des limites 



r(x) {q-xiy-^ 



et 7 de y; donc A= O, et par suite: / (q—xi-^-q)'—'^ e-cvr+gO'-(/.r= / [q — xiy—^ e-'^'-'-dx. [416]. 



Prenons r = 2, séparons les parties réelles et les parties imaginaires, et nous aurons : 



1 {-Zq Cos. (2c - qx) — X Sin.{Zc^ q.r)} c-'°(^=-ï') dx = </ 1 e"^'^' dx = -\/n (d'après Méth. 6, N°. S), 



£(.,.«.,..= ,,, + ,.c.,.,..rt).-.-«.. = /y..v_„. t„„ „„n, 



Divisons dans la première la distance des limites en deux parties, de — oo a O et de O a oo ; et 

 posons (lans la première partie .i' = — y, alors les deux intégrales dévicnnent égales et 1'on a : 



[415] Voyez Cal-chy, Savants Etvaiiirers de l'Institut. T. l. 1S27. Mémoire sur hi propagation des 

 Ondes. Nota Ifi, p. 184. 



[416] Équation cnoiiccc dans Ie, Bulletin de la Socicté Pliiloniatluque de 1822. 



[417] Cav pour .'-.•=_;;' l'inte'grale (73) donne: / e-P^^xdx = O ; (^O/S) 



Pa^c 670. 



