ET METHODES D'ÉVALUATION DES liMÈGRALES DÉFIIVIES. [II. iM. 40. N\ 1» — IL 



Pour line application de cclte formule soit /'(.■(■) = -- ^ ^ ; alors ou poun-a cherclier la 



(s — xi)" 



somine Zi + Zi tout d'un coup. Pour cela leinarquoiis que 1'équatiou (r -}- 'i-i)' (« — .ci)'' = O a 



c racines égales a ri et d racines égales a — si: or, ces deruières totnbeut hors des limites de Tinté- 



gratiou et par suite elles n'ont aueune influeuce; mais les premières douneiit suivant les regies de Nr. 1 : 



o» ^_ tjf*i ^ ] 1 



(r -\- xi)<' (s ~ .xi)<' {s — aiy' {s — xi^i^ 



{x — ri)-—-<: . 

 = -— i~'^ , (lui s'amiule pour la valeur ri de .e, uourvu que e soit <1 I. Comme dès- 



{S Xlf I T -^ 



lors Z. s'anuulc de méme, il vient: / , , 7","' :, , = iSin.cri, j 



dx f'^ dx 



- - , = 2 Sin. c Tl. \ 



(r + xiy [s — .vi)"- J x<:{s -\-r-{- x)" 



tl. C TT /" 



r -\- sf+'i- 1 ƒ ^« ( 1 + .//)f' (r + sY^<'- ' T{d] 



(d'après Me'tb. 4, N'. G) 



10. Cas VI. Théorème XLVIT. La suppositioii de F (.r) = , doiiiie taut 



■In r (c + f/ — ] ) 

 = 7- -----, — '— , (T. 30, N\ 1), (d'après Métli. 4, W. 6, Note, form. B). Dans la 



première réduction on a employé la substitution x = (v -\- s)}/. 



1 

 (r — .xiY (s — xiy* 



I'(± X -^ iji) = O que F (.(• -{- ^ «) = 0. L'équation («) devient {r ~ xiy {s — ri^ ^= i} et a c- 

 racines x = — n' et d racines x = — si: mais comme elles sont toutes situées hors des liraites 

 O et 00 de riutégratioii par rapport a ?/, il s'ensuit que A est zéro. Par conséquent : 



/" dx 



I = 0. (T. :50, N\ 3). 



J {r ~ xi)':(.'<—xiyl 

 o 



Jl. Ce mêmc théorème peut encore nous fournir plusieurs autres théorèmes généraux. Ca r soit 



y (,ï) une foiiction qui ne peut devenir iufiuic (a), comme nous Ie supposeroiis plusieurs fois dans 



f Lx) 

 la suite. Alors prenons F(.c)= '- ,- l'équation («), r — xi = O, aura la seule racine x -^ — ri, 

 r — .xi 



/'^f(x) dx 

 -^ — = O . . (LVI) 



/■(*■) r f(.v)dx 



et encore par Ie meme raisonnciiient pour F (.r) = ' - . : ƒ ' — = O (J'VlI) 



(r — xiy J (r — xiy 



TC 



/ (*) 



l'oLir p (a') = au contraire la racine de Téquatioii («), ?'-|-.ri ^= O, devient .r ■= ri : d'oü 



r 4" xi 



1 r/Mdx 



la correction Zi = -i{ri).2ni = -iirfiri), et par suite: ƒ ■' - ' - = Znfiri). . . . (LVIIIj 



X 



Pao-e (il.j. 85* 



