. ET METHODES D'ÈVALUATIÜN DES INÏÉGRALES DÉFINIES. 111. M"'^ 4o. i\'. 15. 



/w . ,. . 



Lorsque ¥ (x) = , la lacine de 1'equatioii («) devieut x = — r, réelle; de plus on a 



.V -\-r 



,^(.r) = /■(.(■), douo i\ = nit[- ■/•), et: / 'y-'-- + - - '\ dx = ^if(—r) (LXIV) 



J \v-\-x r — X) 



»-2 +.ï^ 



Pour l''(.i') = — , — ,, rwiuatioii («) ;v nour lacines .); == db ri (doiit la lacine x = — /•»" 



tombe hors des limitcs de 1 iutcgratioii); on a donc tp (x) = — ■ — et: 



.V -\- ri 



rf(a;)+f{-x) 1 , 



1 •'J '_J_^Lv 'rd.v = 2ni J {ri) = TT f [r i) (LXV) 



J r^ -{- X- Hl 



■o 



xf{x) 



Soit ï (a') = , alors 1 équation («) a les racines .p = se , .1;=^ -\- ri et .« =^ — /i 



r' -f- a;^ 



/'(•*-•) . »'«/(»'0 1 , 



(doiit on n'a pas u tenir conipte). Comme 011 a (;(x)= ^ = O, (f (rt] = ="/(''')> 



r^ -|- A'^ ' X -\- ri 2 



il vient: ƒ ' ' ~ '^ ^~ ''.r d.t = 2ni-f{ri) = ni j {ri) (LX VI) 



/ »'^ + X- 2' 



"n 



rf{x) ,^ . 



Prenous encore F (.t') = — ^ . Les racines de 1 équation («) sent x=:izr, qui donnent 



r^ — .r^ 



'■/'('•) 1 rfi—r) 1 



i/.(-|-'')= ' =~/('')<<ï'( — r)= - = J{ — ?■), d'ou, puisque les racines soutreelles: 



r -\- r 'i' — r — r 'Z 



ƒ 'r^^x'- — '■^'-'-■^''Mö'^M — j/ (—'■)} = .^uW -./(—»■)] • • (Lxvn) 



o 



xf{x) 

 Au contraire la supposition P(>ï):^ - , doune pour les racines ile l'i'quation («): x^'-c, 



r"^ — .«'^ 



.f = ± r, d'ot. ^:(->o ) = -4^ = O' *( + '•) = '"^r^ - T ƒ('•)' '»'{-'•)= ~''^^~''^ = o/(-'V; 

 A'^ — r- r -\- r 2 — r — r Z 



donc, parce que les racines sont toutes réelles : 



o 



Enfin soit F {x) = , alors l'équation («) a pour racines x = O, .r ^ + ri, et 



x{x'^ -\- r^ ) 



X = — ri (dont la dernière, comme située hors des limites O et -o par rapport a ij, n'est pas a 



considérer ici); de plus 011 a .f (0) = - - = /'(O)» (po'"' '^ calcul de h il faut observer que 



x^ +»■•' 



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