ET METHODES D'ÉVALUATION DES INTÉGRALES DÉFINIES. III. M''^ 44. N\ 4. 



PoLir trouver la valeur de la série, multiplions-eu chaque termc pai- uue puissance de ij egale au 



ya ya+c ya-^b ya+c+li ya+2b 



dénominateur, alois Fexpressioii P = — "" + — r -f- — — "!"••• deviendra 



rt a -\- c a -\-o a-\-c-\-u a -\- 2b 



pour >j Fuuité cxactement la série précedeiite. Ou en déduit — - = — ^a-i _}_ j^a+c— i — ya+b~i 



si longteuips que y reste •<^ 1. Il s'ensuit donc, puisque la série s'cvanouit pour y zéro: 



/>J dij , , , dl n dy 

 y"~^{y'^—l) 7 ; et suivant ce que nous avons fait observer precedemment : = 1 2/"~'(y'' — 1) 1> 



dl /' ~ /'«c — 1 , . dl 



'oh — == I x'"— ' fl — x^} " dx yc I — rn?«-ic/.i', cest-ü-dire, d'après la valeur de — : 



da - j ^ ' j 1 — ^* - ' 1 ^2a 

 o o 



ƒ .i'"-! [l—x'') '' Ixdx =-- f A"-' {l—x'') * dxX ƒ ' -x'^-^dx (a) 



Atin de simplifier cette relation supposous a = b et x'^ = y, alors il est eu premier lieu : 



/'i <■' — b - j £n^ 1 / /"i ^ ^ 



j «i-i (1 _.«6) <: dx = - I {1 —y) '' dy ::= ; / c? (1 ~ 2/)* = -, (T. 10, N^ i), 



o ."b o 



et par suite: / x<'~Ux. {l — xf') '' dx = - I -^x'--'^ dx {b) 



o o 



Soit eucore a=b — c, et x'' = y, il vieiit: / /r'-'-'^^-i <1— .ï'') * dx = - 1 y '' (1 — »/)''•' dy ^ 



= ---7-, {T. 10, W. 5), (d'après Métli. 4, N'. 6, Note, forin. B), donc: 



x'^-'^-Hx.{\-x^) '' dx =. I ", -x'^-'^-^d 



ic) 



bSin.^ -() 



Les formules [b) et (e) réduisent des intégrales, qui sont plus compliquées :'i cause de la présence 

 Pasre 683. 



