lil. IVF'. 44. N\ 5, 6. THEORIE, PROPRIÉTÊS, FORMULES DE TRANSFORMATION, 



5. L'intésrale 1= i e~P ^ Sin.2q:cdx cloune: — ;= / e~P'^' %x Cos. 'Iq x dx = 



o o 



= — — ƒ Cos.lqxd.e—P''^^ = — — \Cos.%qx.e-P^^'\ — ƒ e-P'':' {—?.q dx) Sin.'i.qxl = 



P' J P' *■ l J * 



o '' o 



1 ( r o , ) 1 dl 



= — — _ 1 -}- 2^ / -e—P'^' Sin.Zqxd.v'. = (— 1 + 2^ I), d'ou 2oI + »^— = 1 ou 



p'^ l J I p^ dq 



I 



e-P'^' {q Si».2qx + p^ X Cos.Zqx) dx =- (2110) 



d- [ f^ 2 , * 2 ƒ"" . ,2 



Eiisuite (Je la inémemauière: — , = — / e-P '^' ix- Sin.2qxdx = — I xSin. 2qx.d. e—P'^' = 

 dq' J p- J 



o o 



= JL \xSi}i.2qx,e-P''^'\ — / e— P'-^' [Sin.2qx-\- ZqxCos.Zqx] dx\ = ^ JO— I — q ~\ == 



' 21—--', d'ou (p^ — 2(/2) 2 1+ p* = — 2q, OU : 



p' /?'' dq'^ 



f 



e-P'-^-Sin.'2qx.{p'^—9.q-—Zp\v'')dx=—q; (2111) 



et ainsi cIc suite [435]. 



Mais les intégrales-qiie l'ou acquiert de cette maniere dépeiident toutes de la primitive 1, et 

 admettent par suite une expresslon finie ou non, sclou que c'est Ie cas auprès de celle-ci. 



6. On a ~.{xin+xy-P — x-l+^-P} ==qx'l-^^{li-xy-P + {l—2J)x'}{l+x)-P~ 

 dx 



—.[q — p -j- \)xi-p = qxi-^ (1 + x)-P + (q — p + 1) {•'>■•'' (1 + x)-P — x-^i-r] . La fonction dif- 



férentiée s'aunule pour x zéro, pourvu que Ton ait 7 -|- 1 >-p. Encore s'évanouit-elle pour x 



iufini, pourvu qu'il soit p~^q, car u eet eflet ou peut l'écrire sous la forme, iudéterminée pour 



cette valeur de x,^ — ^^^^—^ : mais cette inddterminatiou s"en va lorsqu'on fait évauouir 



x-1 



Ie terme x^—P contre Ie dernier tcrme du binomc (i -{-xy—P; il reste alors x—P pour la plus 



grande puissance de x, et c'est de-la que résulte la couditiou p"^ q. 



ƒ" ( .rï 1 



hc'i-P — ! dx = 



= g r-n± ^ _JL rj^)i>-7) ^[ ^ .^ ^j.^,^_ ^ .^,_ ^. 



q-p+lj {1+X)P q-p+l T{p) 



[435] Cette rwluction fst de Legendre, Excreices de Calcul intt-gval, 3« Partie, N\ 49. 

 Pa^e 680. . 



