Secondo metodo- ^nalìticoi,. 



Il Signor Maclaujrin nel sup Trattato d* Al- 

 gebra P. I. Sez. II. Gap. iv. dopo avere insegna- 

 ta la maniera di dividere un dato quadrato in 

 due altri quadrati fa osservare in un corollario 

 che le tre quantità m* —i-M*, m* — n* , 2mn pos- 

 sono denotare i tre lati di qualsivoglia trian- 

 golo rettangolo sì di numeri interi che di nu- 

 meri fratti . 



Presi adunque due numeri disuguali m, n,la 

 somma de' loro quadrati m*— f/i* sarà, i' ipote-. 

 nusa X, la difrerenza di tali quadrati ;n* — n* 

 sarà un cateto jy , e il doppio prodotto de' nu-- 

 meri presi sarà 1' altro cateto z d' un, triangolo 

 rettangolo numerico . 



Infatti elevando al quadrato m'^-\-n'^ , come 

 pure m^ —n^ , e 2mn , avremo m'^—t-a'^-+2m*n* 

 =m ^—f-n^-^-a/Tz ^/i ^-+-4771 ^ n % cioè m*— Fri"* H-2m ^n* 

 =m'*-+n*— l-am^'n* , equazione identica, dalla 

 quale apparisce la verità dell' esposto teorema. 

 Per formare secondo questo le serie de' trian-? 

 goli rettangoli primitivi è necessario , che i due 

 numeri m,n , oltre ad essere disuguali , sieno an- 

 cora r uno di loro pari e 1' altro dispari . Poiché 

 se ambedue fossero pari ambedue dispari , 

 tanto la somma de' lor quadrati m^— f-a'', quan- 

 to la differenza m' — n' , e il doppio prodotto 

 2/nn sarebbon numeri pari; onde il triangolo 

 di essi formato sarebbe divisibile almen per 2. 

 Laddove essendo uno de' presi numeri pari e 

 r altro dispari , tanto m'-¥n' , quanto m"" — n' , 

 saranno numeri dispari , e imn sarà sempre nu- 

 mero pari. 



Ciò stabilito si prendano secondo 1' ordine na- 



