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dass aber auch andererseits es an allen Anlialtsininkten 

 mangele, um irgendwelche Priorität auszumitteln. Wich- 

 tiger erscheintWöpcke's von Cantor ausführlich und 

 geschickt discutirte Hypothese, eine merkwürdige Stelle 

 eines reUgiösen indischen Werkes, in welcher von ge- 

 wissen dem jungen Buddha bei seinem Yerlobungs- 

 examen^) vorgelegten Aufgaben gesprochen wird, habe 

 sich nach dem Westen fortgepflanzt und so den An- 

 stoss zu Ar chimed 's denkwürdigem Buche „Von der 

 Sandeszahl" gegeben, in welchem die von der Welt- 

 kugel zu fassende Anzahl von Sandkörnern ausgei'echnet 

 wird. Ob diese Vermuthung, welche an sich sehr ge- 

 fällig erscheint, durch nachträghche Forschungen sich 

 exact bewahrheiten lässt, muss natürlich dahingestellt 

 bleiben, — so viel aber geht aus Allem hervor, dass, 

 wenn überhaupt mit Rücksicht auf den rechnerischen 

 Theil der Mathematik an eine griechisch-indische Wechsel- 

 wirkung gedacht werden kann, die passive Rolle des 

 Empfängers weit wahrscheinlicher dem griechischen 

 Volke zuzuweisen sein wird. 



Umgekehrt dagegen verhält sich's mit geometri- 

 schen Dingen, und zwar darf sich in diesem Falle die 

 Forschung auf einem weit festeren Boden bewegen, als 

 das bislang möglich war. Eine eigentliche Geometrie, 

 eine Raumlehre im griechischen oder modernen Sinne, 

 besass Indien gar nicht; es existirte kein praktisches 

 Bedürfuiss, eine solche in's Leben zu rufen, und noch 

 weit mehr iehlte die sensuelle Grundlage, auf welcher 

 ohne alle äussere Veranlassung das herrliche Gebäude 

 der hellenischen Geometrie entstanden war. Der alte 

 Arneth, dessen Pfadfinder- Verdienst wir die höchste 

 Achtung zollen müssen, spricht sich über dieses Ver- 

 hältniss in bezeichnendster Weise aus (S. 176) : „Was 

 die Geometrie betrifft, so haben wir gesehen, dass 

 dieser Zweig der Mathematik bei den Indern gar nicht 

 existirte; sie rechneten mit Linien, Flächen und Kör- 

 pern, wie wir mit Centnern, Pfunden und Lothen oder 



Agrimensoren (Leipzig 1875, S. 56 S.) jene Kategorie von 

 Rechuungsaufgaben, in welchen nach der Zeit der Entleer- 

 ung eines Wasserbehälters durch Röhren etc. gefragt wird. 

 Derartige Fragen werden au jenem Ürte bei Arabern und 

 Indern, in A 1 c u i n's Aufgabensammlung „ad acuendos juvenes", 

 bei dem Reformator Leonardo Fibonacci. überhaupt so 

 ziemlich überall, nachgewiesen, wie sie denn auch seit May er 

 H i r s c h 's Zeit in keiner nach dessen Vorbild gearbeiteten Zu- 

 sammenstellung vermisst werden dürften. 



I) Das Alter jenes Werkes, der „Lalitavistara", kann 

 nicht mit einiger Genauigkeit fixirt werden. Wahrscheinlich 

 aber erscheint es uns in hohem Grade, dass zu einer Zeit, 

 welche sich im Schaffen solch' ungeheuerlicher Zahleuweseu 

 gefiel, das Positionssystem, welches wir recht sehr füi- eine 

 indische Erfindung zu halten geneigt sind, noch nicht er- 

 funden oder doch wenigstens noch nicht zu allgemeinerer 

 Aufnahme durchgedrungen gewesen sei. Wie gering näm- 

 hch die früher behauptete Analogie zwischen den Stufen- 

 zahlen des Archimedes und der gleich einfachen wie in- 

 geniösen Idee des Stellenwerthes sei, hat Nesselmann 

 (Algebra der Griechen, S. 122) bestimmt dargethan. 



Leop. XIII. 



mit anderen Dingen." ') Wenn nun trotzdem die als 

 blosses Anhängsel der Algebra auftretende Geometrie 

 interessante Lehrsätze und eigenartige Untersuchungs- 

 gebiete in sich begreift, die so ganz und gar nicht 

 den landläufigen Stempel tragen, ja wenn sogar in dem 

 relativ kurzen Zeiträume von 500 Jahren ein entschie- 

 dener Rückgang in geometrischem Wissen und Können*) 

 sich manifestirt — was liegt da näher, als die An- 

 nahme, man habe es hier mit einem Bruchstück fremder, 

 von Aussen hereingetragener Wissenschaft zu thun, 

 welch' letztere dann natürlich, als die ursprünglichen 

 Quellen zu strömen aufgehört hatten, allmäliger Ver- 

 sandung anheimfiel? 



Diese Annahme ist denn auch nicht neu. Bereits 

 Henri Martin von Renn es hatte auf das eigen thüm- 

 liche Factum hingewiesen, dass gewisse Kunstwörter*) 

 und gewisse bequeme Beispielsfiguren bei Heron AI e x a n - 

 d r i n u s und den Indern ganz in der nämlichen Weise 

 vorkämen. Hankel, den wir ja schon oben als ener- 

 gischen Verfechter inilischer Originalität kennen zu 

 lernen Gelegenheit fanden, opponirte natürlich gegen 

 diese seiner Grundanschauuug stracks zuwiderlaufenden 

 Behauptungen , doch wenn auch seine Gegengründe, 

 wie immer , scharfsinnig sind , so gelingt es unseres 

 Erachtens C a n t o r doch, dieselben nach und nach zu 

 widerlegen. Insbesondere wird dem Schlüsse Hankel's, 

 eine gewisse allerdings hervorrngende heronische For- 

 mel finde sich bei keinem indischen Autor und des- 

 halb habe keiner dieser letzteren von Heron gewusst, 

 durch den Nachweis der Boden entzogen , dass auch 

 von den zahlreichen Geometern des früheren Mittel- 

 alters, die doch vielfach nur als unselbstständige Re- 

 producenten heronischer Leistungen anzusehen sind, 



1) Diese algebraische Geometrie der luder, welche wir 

 uns dazu noch ganz ohne alle Rücksichtnahme auf Homo- 

 geneität etc. vorstellen müssen, iuvolvirt also eine ganz ent- 

 schiedene Depravation der Mathematik, aber eine eben so 

 glückliche Depravation, wie jene, durch welche sich aus dem 

 strengen Exliaustionsverfahren des Archimedes die sogen. 

 „Geometrie des Untheilbaren" und aus dieser heraus wiederum 

 die grosse Neuerung der Infinitesimalrechnung entwickelte. 

 Nur dadurch, dass bei dem so gfücklich für die Couservirung 

 älterer Errimgenschaften augelegten arabischen Volksstanime 

 die exakte Metrik der Griechen wie die geometrische Rechen- 

 kunst der Inder gleichmässig Eingang finden, konnte sich 

 jeuer grossartige Verschmelzuugsprocess aubahnen, auf dessen 

 Vollendung unsere heutige Mathematik beruht. 



2) Die Periode des Abwärtsgehens ist durch die Namen 

 Brahmegupta und Bhäscara Achärya bezeichnet. 

 Ersterer ist noch selbst ein schöpferischer Geist, Letzterer steht, 

 obschon er in vielen Details seinen Vorgänger entschieden über- 

 ragt, doch bereits an der Schwelle eines blossen Commen- 

 tatoren-Zeitalters. 



3) Das Wort ,, Scheitellinie" (xoQvifij, Vertex, coraustus) 

 bezeichnet bei den alten Aegyptern der Pharaonenzeit, wie 

 bei dem Alexandriner Heron und in der mathematischen 

 Terminologie der Inder die kleinere der beiden Seiten eines 

 Trapezes, jener Figur, welche bei allen Völkern mit Vorliebe 

 zum Ausgangspunkt für die Flächenmessung genommen wurde. 



