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•doch gerade der fragliche Satz niemals zur Anwen- 

 dung gebracht worden sei. 



Den von Martin nur mehr gelegentlich vor- 

 gebrachten Belegen fügt nun Cantor's bewusst-con- 

 sequente Nachsuchuug eine Reihe neuer nicht minder 

 prägnanter Analogieen hinzu. Gewisse roh-empirische 

 Flächenformeln*) für Flächen und Körper, welche aus 

 der altaegyptischen Messpraktik — wie wir glauben-), 

 nicht durch den freien Willen des Autors — in die 

 heronische Encyklopädie übergegangen sind, finden sich 

 bei den Indern wieder vor, die Hülfslinien zieht B r a h m e - 

 gupta vielfach ganz nach demselben Principien, wie 

 das auch Heron thut, und auch in der äusseren 

 Form der beidseitigen Lehrbücher, z. B. in der Ueber- 

 schrift gewisser Abschnitte , treten auffallende Aehn- 

 lichkeiten zu Tage. Wichtiger jedoch als all' diese 

 mehr sekundären Identitätsbeweise muss uns erschei- 

 nen eine Eeihe neuer erst ganz kürzlich an's Licht 

 geförderter Thatsachen, welche es Cantor möglich 

 gemacht haben, den directen Beweisweg für seine Auf- 

 fassung anzutreten. 



Ein in Hindostan heimisch gewordener Deutscher, 

 Professor Thibaut zu Benares , hat unlängst eine 

 Uebersetzung und sachliche Paraphrase der sogenannten 

 (j'ulvasütra's herausgegeben, welche Schriftwerke es 

 mit den zur richtigen Erfüllung der Cultusvorschriften 

 dienenden Regeln und speciell mit der Construction 

 der Altäre zu thun haben. Diese Altäre wurden in 

 den allerbaroksten Formen hergestellt, massgebend 

 bleibt jedoch stets die richtige Lösung zweier plani- 

 metrischer Aufgaben: Eine gegebene Figur mit Bei- 

 behaltung der Gestalt nach einem bestimmten Ver- 

 hältnisse zu vergrössern, und: Eine Figur in eine an- 

 dere zu verwandeln. Aehnlich«; Dinge waren auch den 

 gottesdienstlichen Gebräuchen der alten Griechen nicht 

 fremd, wie die von Cantor quellenmässig wieder- 

 gegebene Erzählung vom delischen Problem (Verdoppel- 

 ung eines würfelförmigen Altars) beweist. Bekanntlich 

 soll dieser mysteriöse Wunsch des Gottes eine der be- 



') Wir können jedoch speciell dieses eine Argument 

 nicht als ein sehr beweiskräftiges gelten lassen. Sind näm- 

 lich die betreffenden Formeln, so wie sich dies Arneth 

 (S. 146) zm-echtgelegt hat, nichts weiter als Ausflüsse der 

 bekannten richtigen Formel für den Rechtecks-Inhalt, galten 

 sie demzufolge auch nur für solche vierseitige Gebilde, deren 

 Gestalt nicht allzu weit von derjenigen eines Rechtecks ab- 

 wich, so war die Möghchkcit, gerade diese Formeln und 

 keine anderen zu erfinden, eine so überaus naheliegende, 

 dass in einer ürtUchen und zeitlichen Doppel-Entstehung 

 nichts Besonderes erblickt werden darf Uns würde es per- 

 sönhch nicht wundern,wenn systematisch-ethnologischeForsch- 

 ung in dem Sinne, wie ihn unlängst H. Stoy's Habihtations- 

 schrift präcisirt hat, jene Regel bei vielen uncultivirten Völker- 

 schalteu aufdecken würde. 



'-) Vgl.desVerf Notiz: „Die römischen Agrimenaoren", 

 m der wissenschaftlichen Beilage der „Allgem. Zeitung" vom 

 13. März 1876. 



deutsamsteu Errungenschaften der antiken Geometrie, 

 die Verzeichnung zweier mittlerer Proportionallinien, 

 unmittelbar veranlasst haben. — Die Inder machten 

 sich's allerdings insofern leichter, als sie nicht ähnliche 

 Körper, sondern lediglich ähnliche Flächen construir- 

 ten, d. h., arithmetisch ausgedrückt, ihr Problem statt 

 auf die Ausziehung der Kubikwurzel auf die viel leich- 

 tere Berechnung einer Quadratwurzel zurückführten. 

 Dabei kommt es nun zunächst immer auf die an- 

 genähert rationale Bestimmung der Grösse j/2^ an. 

 Das Original setzt 



1 



.4 



V^ 



-'+1 + 3^ 



3.4.34' 



für diese Approximation entwickelt Thibaut einen sehr 

 eleganten Beweismodus, den Gantor acceptirt und 

 mit eigenen Bemerkungen versieht i). Er hebt näm- 

 lich hervor, wie das von Thibaut gemuthmasste Ver- 

 fahren von einer echt heronischen Figur, dem sogenann- 

 ten Gnonion, Gebrauch macht, und wie weiterhin die 

 stetige Verwendung von Brüchen, welche die Einheit 

 als Zähler haben, ein specifisches Charakteristikum 

 aegyptisch-griechischer Logistik (Rechenkunst) ist. 



Die Construction der Quadratwurzel fusst selbst- 

 verständlich auf dem pythagoraeischen Lehrsatz, wel- 

 cher jedoch eigenthümlicher Weise niemals für das 

 rechtwinkelige Dreieck selbst, sondern nur für das 

 Rechteck, dessen Hälfte jenes ist, ausgesprochen wird 

 — doch kommt dergleichen nicht minder bei Heron 



>) Verfehlen wollen wir nicht, darauf aufmerksam zu 

 machen, dass der erste und hauptsächlichste Theil des Aus- 

 druckes auch auf andere Weise eruirt werden kann. Es ist 

 nämlich approximativ 



l/^^j/l + l = 



1 + T+l 



^ 2- 



sumniiren wir diesen Kettenbruch, so ergiebt sich sein Werth 



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 ^=Y75, und dieser Bruch lässt sich sofort wieder als auf- 

 steigender Kettenbruch schreiben; es ist 



T2-T ^ -^+^ + n7i- 

 Unsere feste Ueberzeugung , dass solche Kettenbruch-Algo- 

 rithmen in ein sehr hohes Alter hinaufreichen, haben wir 

 früher (im VII. Bande des Bulletino Boncompasni) betont 

 und zu stützen versucht ; speciell die Inder besassen in ihrem 

 „Zerstäubungsverfahren" (Hankel, S. 197) eine von unserer 

 modernen Kettenbruch-Entwickelung dem Wesen nach nicht 

 verschiedene Methode. 



2) Für diese das gesammte Alterthum mit seltener Con- 

 stanz durchziehende Rechmmgsmaassregel, complicirte Brüche 

 womöglich durch abnehmende Reihen der Form: 



1 + — + — 1.1. 

 a ab -*- abc abcd 

 oder durch Summen aus solchen Reihen darzustellen und 

 dadurch für den praktischen Calcul geschmeidiger zu machen, 

 suchte Verf dieses in seinem Werke: „Vermischte Unter- 

 suchungen zur Geschichte d«r mathematischenWissenschaften"- 

 (Leipzig 1876, Kap. II) Materialien zusammenzubringen. 



