Geometria analitica 89 



sentìno le componenti di r, r', parallele agli assi 

 supplementarii, e poi surrogare a (1, /, w), (1, l ^m) 

 le quantità rispettivamente proporzionali 

 {sen'xj, L,M),Ue/i'a^, L', M'), e — 'Cos'xj a cos'Xiyi-. 

 otterremo 



(1 )' rr sen'xjcos'rr^lAl-J^MM —(JM-^UWìCOs-xj, 

 (2)' rr'sen 'xjsen'rr'=^lM' — L'M. 



e) Proiettiamo r sulle rette r', /', m'i le corri- 

 spondenti proiezioni saranno rcos'rr, L, M; e si 

 avrà (§.20 e) 



(1)' rr co6^Tr' = /'L -f- m'M. 



Inoltre nella (2)' sostituiamo L = / H- mcos'xj , 

 M = wi -♦- Icos'xj ; avremo 



(2)'' rrsen'xjseii'rr'= IM — mU—ilL'—mWjcos'xj. 

 Le formule (1)', (2)" risolvono il seguente problema: 

 </<7^e 7ze/ i'cwj'O degli assi (x), (jr) /e componenti di 

 una retta, e le proiezioni di uri altra reita^ determi- 

 nar l'angolo delle due rette. 



f) Noi sappiamo che le rette parallele sono 

 proporzionali alle loro proiezioni e componenti omo- 

 loghe ( §. M b). Viceversa due rette r, r saranno 

 parallele, se le componenti /, m dell'una secondo 

 due assi, siano proporzionali alle componenti omo- 

 loghe dell'altra. Infatti, sussistendo la proporzione 

 l : m '.'. t: m\ la (2) somministra sen'rr = o. D'al- 

 tronde immaginando la figura riesce chiaro, che la 

 direzione di r, r e fissata invariabilmente dalle lo- 

 ro componenti; e che non sì può alterare il paralle- 

 lismo di r^r , senza turbare la proporzione l-.mz-.l'zm'. 

 Dunque, sussistendo questa proporzione , è forza 

 che sussista pure il parallelismo di r, r. In virtù di 

 tale discorso possiamo stabilire in generale, che due 

 rette saranno parallele , se le proiezioni dell" una 



