Geomiìtivia analitica 121 



prese nell'equazione unica (A)'; e si dicono sezioni 

 coniche^ perchè si offrono con tutte le loro varie- 

 tà nelle sezioni piane di un cono a base circolare. 

 a ) Affinchè 1' equazione (B) rappresenti una 

 curva, è necessario che il coefficiente lì risulti di- 

 verso da zero. In questa ipotesi surrogando 



X — — ad j;, (B) diventa 

 2R 



(B). P'/r=2Ra:; 



la quale, essendo verificata da o = x = j", dimo- 

 stra che l'origine è sopra la curva. Dunque ogni 

 volta che R è diverso da zero, l'asse {x) attraversa 

 certamente la curva, e ponendo quivi l'origine «p, 

 sarà S = o. È evidente che, cangiando all'uopo il 

 segno di x, si può fare in modo che il coefficiente 

 di X abbia il segno che piìi aggrada. Quindi l'e- 

 quazione (B)i, non polendo assumere nella sua sem- 

 plicità un'altra forma essenzialmente diversa, rap- 

 presenta una sola specie di curva, chiamata ^ara- 

 bola (Vedi il §. 43). 



b) Nell'equazione (G), supposta S positiva, (se 

 non lo fosse, si renderebbe tale cambiando il se- 

 gno a tutta l'equazione) possono avvenire due casi 

 rispetto ai coefficienti P, P'. Poiché 1.° o sono am- 

 bedue dello stesso segno, e dovranno risultare po- 

 sitivi (altrimenti l'equazione avendo il primo mem- 

 bro essenzialmente negativo ed il secondo positi- 

 vo, sarebbe assurda); 2.° o l'uno positivo e l'altro 

 negativo, e sarà indifferente alla natura della linea 

 il supporre negativo piuttosto l'uno che l'altro, es- 

 sendo arbitraria la denominazione degli assi coor- 

 dinati: noi supporremo negativo P'. 



Quindi l'equazione (G), potendo assumere due 



