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in modo che le direzioni Ini, Im de'nuovi assi {,t) , 

 (7), siano principali. In questo caso i cocffcentt 

 P, P sono, com'è noto ( §. 37. a ), ciò che diventa 

 A/^ -f-Bw^ -f- 2Clm, allorché la direzione Im si sup- 

 pone principale; sono adunque le radici delVequa- 

 zione (/j), e però sarà 



AB — C" = PP'. 

 E poiché tali coefficienti debbono essere aitìbeduef 

 reali dal momento che n'esiste uno ( S- 39 ), si ha 

 un nuovo motivo per conchiudere che le radici dì 

 (/?) sono reali. Quindi il numero delle positive (per 

 la regola di Descartes) sarà eguale alle variazioni di 

 segno. 



h ) Ciò posto, le radici reali di {p) possono 

 risultare o una eguale a zero, o ambedue dello stes- 

 so segno, oppure di segno diverso. Nel primo caso 

 il binomio AB — G% prodotto di tali radici, sarà 

 nullo\ sarà positivo nel secondo; e negativo nel ter- 

 zo. Quindi affinchè l'equazione (A) possa rappre- 

 sentare o una parabola, o un'ellisse» o un'iperbola; 

 dovr'a essere 



AB — O [ 0. 

 <) 



Si noti che, supposte A, B positive, se fosse 

 AB — C* = o , ossia 



risulterebbe A -f-B > 2C : 



e che perciò se fosse AB — G* > o, ossia C^<AB, 

 risulterebbe a fortiori A -f- B > 2G > 2Cco^z ; e 

 conseguentemente l'equazione {p) offrirebbe due va- 

 riazioni di segno, e positive le sue radici. 



