Geometria analitica. ^2^ 



d) Data una linea di seconcVordlne, è necessa- 

 riamente determinato il rapporto tra i coefficienti 

 P, P', radici dell'equazione (/;); quindi comunque sì 

 trasformino le coordinate, e si mutino in corrispon- 

 za i coefficienti A, B, C dell'equazione (A), il rap- 

 porto delle radici dell'equazione ip) resterà immu- 

 tabile. 



e ) Se le due radici P, P' di {p) sono eguali, 

 l'equazione (A) non potrà rappresentare altra cur- 

 va reale che la circonferenza ( §. 26 e ). In questo 

 caso esisteranno evidentemente infiniti sistemi di 

 direzioni principali. Se le due radici di {p) sono di- 

 suguali, a ciascheduna di esse corrisponderà una 

 particolare direzion principale Im, ed una sola (*). 

 Pertanto le linee di second' ordine offrono due sole 

 direzioni principali^ tranne la circonferenza che ne 

 ha infinite. 



(*) Infatti supponiamo che (A) sia da bel principio 



P^^ -f Vy — 2Rx — S = o, 



e principali le direzioni degli assi [x], {j). L'equazioni (/m) de- 

 stinate a somministrare le direzioni principali, diverranno 



o = (p — P) / = (yt, — P) m, 1 = /^ H- w' . 



Ciò posto, facendo p =: P, sarà m -:= o , ed / := i , cioè alla 



radice P di (p) corrisponde una sola direzion principale , 

 quella dell'asse {x). E per ragion di simmetria alla radice P' 

 di (p) corrisponde la sola direzion principale dell'asse {y). Quan- 

 do poi si ha P ::=: P', allora ogni direzione può assumersi per 



principale, risultando ►- = / — = m. 



