Geometria analitica 47 



b) Nelle superfìcie di second ordine due sezio- 

 ni piane e parallele, ma non iperboliche, sono simili. 



Dim. Facciamo scorrere paralleli a se stessi i 

 piani coordinati, trasportandone l'origine in un pun- 

 to qualunque a/3y, e però surrogando j:-l-a, J^-+-/3, 

 2 H- 7 ad x,j, z. Per questa sostituzione i termini 

 della seconda dimensione nell'equazione (A', si man- 

 terranno evidentemente i medesimi. Ora è noto che 

 due linee di second'ordine, non iperbole, sono si- 

 mili, se le loro equazioni fra coordinate di eguale 

 obliquità, presentano rispettivamente identici i ter- 

 mini della seconda dimensione (§. 55. nota). Dunque 

 la nuova sezione, che nella superficie (A) fa per es. 

 il piano j:y, è simile alla sezione parallela che vi 

 faceva nella posizione primitiva; e le linee dell" una 

 sono parallele e proporzionali alle linee omologhe 

 dell altra. 



Allorché poi due sezioni parallele sono iperbo- 

 le, se non riescono simili, l'una sarà simile alla iper- 

 Lola coniugata dell'altra. 



e) Nell'equazione (A) trasformare le coordina- 

 te in altre di origine e direzione di\>ersa, e poscia 

 in coordinate polari. 



Soluz. 1.° Alle coordinate x,j, z converrà so- 

 stituire (§. 63) 



lx-i-lj-\-l'z-{-a.,mx-{-my+-m" z-\-^,nx-\-ny-]rn' z-\-'y, 

 ove Imn, l'm'n tmn', rappresentano le direzioni 

 de' nuovi assi coordinati (x), (y'), (2). Avvertendo 

 essere simmetrici i tre sistemi di quantità 

 (x,/,/'r,A, A',A"),(7,m,w m ,B,B'B"), {z,n^nn\C,(^ ^C'), 

 tale sostituzione può eseguirsi a colpo d'occhio de- 

 terminando successivamente i coefficienti P , 2Q , 

 ' — 2R di x^, j'Z, X, e deducendo per simmetria i 

 coefficienti (P', 2Q', — 2R') , (P", 2Q", — 2R') di 



