Geometria analitica 63 



il prodotto ABC In questo caso Tequazione (/j)^, 

 siccome di terzo grado, ha per lo meno una radice 

 reale. 



Dunque in ogni caso {p)^ ha una radice reale di- 

 versa da zero. Dunque esiste sempre un piano prin- 

 cipale per lo meno. Dunque l'equazione (A) col me- 

 todo già insegnato (§. 72 h) può sempre ridursi alla 

 forma 



Px^H-P>24_p".2_2Qx_S=o , 

 in modo che le direzioni Imn^ l'm'n , tinti de nuo- 

 vi assi (x), (7^), (z), siano principali. In questa ipo- 

 tesi i coefficienti 



P, P', P" 

 sono, com'è noto (§. 72 Z>), ciò che diventa 



A/^ -h B/W2 ^_ C/i^ -H %Kmn -H ^nl -+- Cini) , 

 allorché la direzione Ijnn si suppone principale; 

 sono adunque le radici dell'equazione (/?), e però si 

 avrà 



U = ABC -H 2A'B'G'— (AA'=H-BB'^4-CG'^)=PP'F'. 

 E poiché tali coefficienti debbono essere tutti e tre 

 reali dal momento che n'esiste uno diverso da zero 

 (§. 72 g); ne segue che le radici di (p) sono tutte 

 reali. Quindi il numero delle positive (per la rego- 

 la di Descartes) sarà eguale alle variazioni di segno 

 che hanno luogo ne'termini della stessa equazione. 

 Così dalla semplice inspezione delV equazione {p) si 

 può subito rilevare quale specie di superfìcie rap- 

 presenti V equazione (A) (*). 



C) Nota I. Ciascuno de'binomii 



(Z^) . . . BC — A'% CA — B'% AB — G- 



l'isnlti = ovvero ]> o : le quantità A, B, C dovranno avere lo 

 stesso segno. Supponiamole positive; si avrà ($.40 ^ nota) 



