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b) Data una superiicie di second'ordinc, è ne- 

 cessariamente determinato il rapporto tra i coeffi- 

 cienti P, P', P', radici dell' equazione {p); quindi 

 comunque si trasformino le coordinate, e si mutino 

 in corrispondenza i coefficienti A, B, G, A, B', G' 

 dell'equazione (A), ii rapporto tra le radici dell'e- 

 quazione {p) resterà immutabile. 



e) Se due delle radici P, P ', P'' di {p) sono egua- 

 li, per es. P' = P' (lo che si può scoprire mediante 

 i noti criterii alegebrici); l'equazione (A) non potrà 

 rappresentare superficie curva, che non sia di rivo- 



B -H G— 2A'>o, G H- A— 2B'>o , A H- B~2G>o ; 



e però soiiiiuando e dividendo per i, 



A-hB+G— 2(AH-B'-t-G0>o. 



Per simile discorso, se i biaomii (i) si moltiplicano dapprima ri- 

 spettivamente per 



sen^Yisen^Zi, sen^Z^sen^^i^ sen^^isen'^Y ^ , 

 si conchiiiderà cbe il secondo termine dell'equazione [p] è ne- 

 gativo. 



II. Risulti U=;, ovvero |>»o; le identità 



AU=(GA— B'2)(AB— G'^)— (AA— B'COS 

 (2) BU=(AB— C-)(BG— A'-j— (BE'— G'AT , 



GU=(BG~A2jlGA— B'^)— 'GG'— A'B')- , 



dimostrano che nella fatta ipotesi i tre binoraii (i) debbono aver 

 Io stesso segno. Supponiamoli positivi; i secondi membri delle 

 [i], siccome non minori di zero, forniranno (§. l^o b nota) 



(BG A'^) 

 (GA— B'^)— 2 

 (AB G'^) 



(BB— G'A')>o ^ 



(GC— AB') 



e ne conchiudereino per conseguenza che il terzo termine di {p) 

 è positivo. 



Pertanto se con U=o^ ovvero ^o , uno qualunque de' tre 

 binomii (i) è positivo; non potranno aver luogo in (p) perma- 

 nenze di segno, nò quindi radici negative;e la superficie (Aj non 

 potià appartenere che alla famiglia delie paraboloidi ellittiche , 

 o delle ellissoidi. 



Se venga dato che le radici di {p) debbono aver lo stesso se- 

 gno, e che nessuno de'binoniil (i) è minore di zero ; allora, ri- 

 sultando negativo il secondo termine di [p], affincbò in (p) non 

 abltiano luogo permanenze di seguo è necessario die U sia uou 

 minore di zero; coòi ricadiamo uel caso precedente. 



