Geometria analitica Q6 



luzlone (§. TO a). In questa ipotesi la direzione dell' 

 asse (x) di rotazione sarà una delle direzioni prin- 

 cipali della superficie, mentre l'altra coppia di di- 

 rezioni principali sark ogni sistema di due rette 

 perpendicolari all'asse di rotazione e tra loro. 



Se tutte e tre le radici di (p) sono eguali, l'equa- 

 zione (A) non potrk rappresentare altra superficie 

 che la sfera. In questa ipotesi esisteranno evidente- 

 mente infiniti sistemi dì direzioni principali. 



Se le tre radici di (p) sono disuguali, a ciasche- 

 duna di esse corrisponderà una particolare direzion 

 principale, ed una sola (*). Pertanto le superficie 

 di secoìicT ordine offrono tre sole direzioni principa- 

 li^ tranne le superficie di rivoluzione che ne hanno 

 infinite. 



(*) Infatti supponiamo che (A) sia dal bel principio 

 Px^H-Py^^-P'z^— 2Rx— S=o, 

 e principale la direzione degli assi(.r), (j1, (z). L'equazioni (Imn) 

 destinate a somministrare le direzioni principali, diverranno 



o={p-i')l=^{p-^')m=[p-r)n, 

 ed '|=/2-l-W24-/i2. 



Ciò posto, facendo ;> ^ P, sarà o = m = n, e perciò / = i , 

 cioè alla radice P di [p) corrisponde una sola direzion principa- 

 le, quella dell'asse {x). E per ragion di simmetria alle radici P', 

 P" di [p) corrispondono le sole direzioni principali deirli assi 



Se fosse P'= P",alla radice P corrisponderebbe la direzio- 

 ne unica dell'asse (ar); ma, oltre questa, sarebbe principale ogni 



direzione perpendicolare all'asse (a;), risultando l=o,S =m=n, 



o 

 allorché si fa p — P' — P". E se fosse P — P' — P", allora ogni di- 

 rezione potrebbe assumersi a principale, risultando 

 O 



— =l=ifi=n . 

 o 



(Sarà continuato) 

 Domenico Chelini delle scuole pie 

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