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Dunque delle paraboloidi, la cilindrica ammette sol- 

 tanto sezioni paraboliche e loro varietà; la ellittica 

 sezioni paraboliche , ellittiche e loro varietà; la 

 iperbolica sezioni paraboliche , iperboliche e loro 

 varietà. 



IL Se sia 1.° o < A, B, G ; 2.^ o < A, B, > G ; 

 3." o < A, > B, G; la quantità PF— Q"^ potrà riu- 

 scire in corrispondenza 



1.° soltanto > o; 2.° e 3.° = , >, < o. 

 Dunque una sezione fatta da un piano nelV ellissoide 

 è sempre un'ellisse; fatta nella iperboloide a una o 

 a due falde, od in un cono^ può essere una linea 

 qualunque di second'ordine. 



Teor. Se una superficie di second'ordine, pene- 

 trando in un'altra dello stess'ordine, v'incide nell' 

 ingresso una linea piana; anche nell'uscirne (se ab- 

 bia luogo l'uscita ) v'inciderà una linea piana: va- 

 le a dire, se la linea d'ingresso è piana, lo sarà pu- 

 re la linea d'uscita. 



Dim. Prendiamo gli assi (x), {y) nel piano del- 

 la linea d'ingresso; e l'equazion di questa linea co- 

 mune ad embedue le superficie, sia 



Ax= H- B/^ ■+■ 2Cjcj — 2 (M'x -h B'>) — D = o. 

 Ciò posto, l'equazioni dell'una e dell'altra superfi- 

 cie, riducendosi a questa per 2=:0, non differiran- 

 no tra loro che pe'termini in z, e però la loro dif- 

 ferenza si potrà presentare sotto la forma 

 z {Lx -I- Mj H- Nz — F) = o. 

 Quest' equazione , dovendo coesistere colle prime 

 due, rappresenta una superficie che ha comuni con 

 le prime due le linee d'ingresso e d'uscita. Ora essa 

 rappresenta i due piani z=o, hx ■+■ My ■+- Ns = F, 

 il primo de'quali xj- contiene la linea d'ingresso: 

 dunque il secondo conterrà la linea d'uscita. 



