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Infatti, poiché ogni sezione piana nella nostra su- 

 perficie, è parabola o sua varietà (§. 75), è evidente 

 che il nuovo asse (x) si può prendere secondo qua- 

 lunque direzione Imn nel piano coniugato a (z): 



l in 

 dunque uno de'rapporti -^ , -h , debbe risultare af- 



n n 



fatto arbitrario. E onde ciò si avveri , è necessario 

 che le tre precedenti condizioni si riducano ad una 

 sola, ossìa che le quantità /, w, n vi abbiano coeffi- 

 cienti rispettivamente proporzionali. Se /, in, n si 

 riguardassero come coordinate correnti, coteste tre 

 equazioni dovrebbero rappresentare un medesimo 

 piano, parallelo al piano coniugato a {z). Si avrà 

 pertanto 



A : B' : C : : C : A' : B : : B' : G : A', 

 la quale proporzionalità si risolve nelle due se- 

 guenti terne di equazioni simmetriche 



A' = i/^BG , B' = i/^GA , Q = i/^AB ; 

 B'G' G'A' A'B' 



A ' B' a 



e però annulla i due ultimi termini dell'equazione 

 {p). Affinchè poi queste relazioni non siano assur- 

 de, conviene 1.° che le A, B, G abbiano lo stesso 

 segno : noi le supporremo positive ; 2.*^ che le 

 A^ B , G' siano o tutte e tre positive, o due negati- 

 ve : esse fissano il segno de'radicali, 



Giò posto, l'equazione generale (A) della para- 

 boloide cilindrica è 



(1 ) (xl/'A-Hjl/'BH-sl/'G)^'— 2(A"xH-B>-f-a's)— D=o; 

 e l'equazione R" = o del piano diametrale si ridu- 

 ce a (§. 44) 



^_ A'/" -+- Wm' -4- C"n 

 x\^k -h/l^B -f- zl/^G = -— ^=q. 



