82 JORNAL DE SCIÊNCIAS MATEMÁTICAS 



gement au dela de A. Les valeurs du rapport comprises entre ces 

 limites ne pourraiont être atteintes que si A ótait non secante à AB, 

 c'est-à-dire si A et AD avaient uik^ normale commune. Va\ particulier, 

 et ce fait est commune à toutes les géométries, le rapport égalc 1 

 quand A est perpendiculaire à la médiatrice de AJi. 



11. — Théorèmes de Menelaus et de J. Ceva 



Si un triangle ABC est coupó par une transversalc A em M, X 

 et 1* on a la rélacion 



siii Mn ' sin NA ' sin PC '~ ^^^^ 



facile h prouver en écrivant la proportionnalité des sinus-côtés aux 

 sinus-angles dans les trianglos de la figure. Cest la rólation de l\Iene- 

 laus ótendus aux plans non Euelidiens. Do même, si AP, BX et CAl 

 se rencontrent en O, 



sin MÁ sin JVC sin PD ^ ,^. 



ce qui est la formule de J. Ceva. Réciproquement, quand les trois 

 points M, X et P vérifient Tunes d'elles, ou ils sont en ligne droite, 

 ou les lignes qui la joignent aux sommets opposés sont concourantes. 

 On connait les applications classiques aux médianes, hauteurs, etc, 

 d'un triangle. Signalons encore cette gónéralisation utile du tliéoròme 

 de Thalès: toute perpendiculaire à la médiatrice du côté Z?C coupe 

 les deus côtés AB et AC de sorte que 



sin DA sin EA 



sin' D D ^^ s\n~EC 

 et réciproquement. 



12. — Quatriémes proportionelles 



1° Soient d'abord a, b, c trois lignes données; pour construiro 

 la longueur x donnée par 



sin X sin b 



faisons le triangle rectangle ABC ou riiypotliénuse est AB = c"^ a, 

 et le côté CB =^ a, prenons AD = b et abaissons DM perpendicu- 

 laire sur AC; DM égalc .r. 



Si c est < a, nous faisons le triangle avec riiypothénuse a et nous 

 déterminons sur riiypothénuse CB lo point D dont la distance à AC 

 égalo b; alors CM vaut x. 



