FÍSICAS E NATURAIS IGl 



r étant le rayon du cercle demande de même aire, ou doit avoir 



4iT sin^ ^ = £ (4o) — 27:) . 



íSoit /Ti: la mesiire en radians du supplément de w; réquation pre- 

 cedente devient 



cos r = 2 '/. (22) 



or, nous avons vu, par IG. que Tou sait construire toute longueur 

 dont une Ibnction est rationuelle ou irratiomielle d'ordre 2^ d'un nonibre 

 rationnel; donc, si X est connu, et a cette forme rationuelle ou irra- 

 tiomielle (Vordre 2", r peut se construire. On a d"ailleurs 



d'ou 



cos p = tg y, (23) 



4 



cos r ^ - are tg (cos p), 



pour determinei' numériquement /• en fonction de p, qaaud c'e8t p qui 

 est donné. De plus. 



^'"'2 1-2X 



sm2 I 1 — tg Y 



La géométrie euclidienne correspond à riiypothèse ^ =^= õ ^^^^ 

 laquelle les deux rapports qui précèdent ont pour limites respectives 

 T et - . c est-à-dire 



7T/- 



9.2 



ce qui doit être. 



La géométrie riemannienne correspond à Tintervalle O < /. <-, 



la lobatcheuskienne aux valeurs de / comprises entre õ et 1, et, par 



exemple, pour le carré maximum dont les côtés sont deux à deux 

 parallèles, cos r = 2. 



Mais si, f étant donné, ). n"est pas connu, le seul moyen de le 

 détermiuer pour savoii* en même temps s'il est rationnel, est derésou- 

 dre réquation (23), ce qu"on ne sait iaire que quand /. est de la forme 

 indiqueé par Gauss. ou que « est égal à Taugle d'un des polygones 

 réguliers que Ton peut construire. 



