102 JORNAL DK SCIÊNCIAS MATEMÁTICAS 



25. — Carré équivalent à un cercie donné 



L'équHtion (22) doiu- 1 qui iloit ôtre ratloniicl et de la forme gaus- 

 sionne, donc cos r donné doit romplir la même condition; alors on peujt 

 determinei* 1t, c'est-;\-dire w, et partant le carré, avec la rògle et le 

 compas. 



C'est ce que Bolyai avait tléjà déinuiitré au | 43 de son AjjpeiidU', 

 mais sa construction s'api)uie siu" la considéralion de Fliorisplière. 



Pour opérer imiquement sur le plan, nous contruisons d'abord. 

 eu vertii de 16, le ravon p donné par Téquation {23), rayon qui est aussi 



riiypothénuse du triangle ayant pour angles | et ^; le carré s'en trouve 



déduit. 



On est donc conduit aux conclusions suivantes: 



1° Dans la géométrie ordinairé, quelqiie soit r, ou a toujours 



X = - et par suite cos p = 1, et w = q- P *^^t indetermine, et tout 



carré ayant ses angles droits aiusi que leurs supplémeuts, la connais- 

 sance d'eux ne snffit pas jjour coustruire le carré. Donc le cercie ne 

 peut pas être quarré avec les instrainente fie construction , et le pro- 

 hlhne inverse est également insoluhle. 



2° Mais quand 1, différent de ;^ et moindre que 1 est rationnel, 



ou irrationnel de dogré 2^' j)ortant sur nombros entiers, avec les tra- 

 ces de Tune ou de Fautre des géométries générales on peut jigurcr 

 un cercie cVaire êgale à celle dn carré qui aarait j^our angle supplé- 

 mentaire Iv.. En ce qui concerne ce carré même, il ne peut être trace 

 à son tour que si, en outre, ?• rentre dans la forme de Gauss. Tel est 

 le sens précis du dilemme: Ou l'Axiome XI d'Enclide, ou la Quadralure du 

 Cercie. 



Voici, à titre d'illustration, deux exemples numériques: 



a) / = p, cos r = r, sm í; = sin -- ^ 



2 



^ — E' = ^{r) permet de construire r; 



2 



C08 p = tg g = sin ^ = sm K, 



*S/ 2 



^ — C = ^(p* permet de construire p; 



le cercie d»; rayon •/ et le carré de Vj diagonale p ont la mPme aire 

 ógale à -— . 



