o ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT 



L. F. MARRECAS FERREIRA 



Os números pares, que não admitem divisores ímpares, são as 

 potências de 2. Fermat provou que o seu teorema se verifica no 

 caso do expoente ser 4 ; ficará pois, demonstrado, em toda a sua 

 generalidade, logo que se prove ser verdadeiro, quando o expoente 

 fôr um número ímpar qualquer. E deste assunto que me vou ocupar. 



i." Caso: 



x" -{-y" =^ z" X e y ímpares, z = 2' . K 



sendo K número ímpar. 



Dando a j? e a ^^ respectivamente, os valores : 2m -pie 2w+ 1, 

 e desenvolvendo as potências, vê-se que os dois últimos termos do 

 desenvolvimento são: 2jj(m -\- n) -\~2. A equação será impossível, 

 para j) diferente da unidade, se m -|- ^ íôr par, porque a menor 

 potência da soma dos desenvolvimentos deve ser igual a 2''', que é a 

 do segundo membro. 



Admitamos, portanto, m + n como ímpar. Pode considerar-se, 

 para fixar ideas, m par e w ímpar, escrevendo: j? = 2//i -p 1 ; 

 ^ = 2??i — 1, em que ?íi = ?i 4- 1 e a equação torna-se em : 



[2m + 1)" + (2ni — 1)" = 2"'. A'" 



sendo o desenvolvimento do primeiro membro : 



2" {m" -\- wi"-) 



+ 



-f p . 2 . (7W + 7?,) 



+ 1-1 



