12() JOWXAL DE SCIÊNflAS MATEMÁTICAS 



O último termo restante:^; . 2 {m 4 «i), atendendo a quo todos os 

 líinómios Silo divisíveis por (m — wi) e hs potências, mais altas de 2, 

 que os multiplicam, é de menor potência que todos os outros e. por 

 isso. dove ser divisível por 2''', on /// -- ni múltiplo de 2"""'. o que só 

 se pode dar, sendo m e ?m. ambos pares, visto ter sido já conside- 

 rado m como par. 



Aquela soma deve admitir ij) — 1 divisões sucessivas por 2. sendo 

 os cocientes inteiros, Faça-se a j)rimeira divisílo. os cocientes virílo 

 ambos pares, ou ambos ínaparos. mas-, nos.te caso. podemo-los escre- 

 ver 2/n' -fie 2n' — 1, resultando m' — n'. O mesmo se diz a res- 

 peito de todas as outras somas, até serenl efectuadas ij) — 1 divisões, 

 e. depois disso, para que mais nenhuma se possa fazer, resultando 

 cocientes inteiros, devemos chegar a dois números: a' e a", sendo um 

 deles par e o outro ímpafr. A dirisâbo. do ordem ?/j. que é a de 

 2'a' -\-a") por 2. dará. finalmente, a' -^ a". 



Resulta : 



X' = 2* ; 2'( 2*(i (2"a' ± 1) ± 1) ± 1) ± 1) ± '. ±1 



y = 2" j2'(2*r2' (í^a^qri)^!)^:!)^:!)!^: ;+! 



ou 



x = 2"'a' + 2* + 2' + ±2'±1 



.v. = 2-a"4:2*q:2^ + • + 2' + l 



desenvolvimentos- estes ©m que é cada, expoente menor que o ante- 

 rior. 



O term^G de mais alta potência de 2 em .r''— ?/ será 2'"- [ la'}''-^ («^)''| 

 e, para qua as somas das potências dos dois valores seja t,ajnbêíií. 

 po-têtQcia intoira, de gnm />, requere-s©. entre outTcòs condiçi^es. que 

 o termo do mais alto grau o seja; isto é, 



em que a'<Cm<C-i' ■: a" <«<//, e, portanto. «<^. 



Se uma destas qu*intidades se reduz à unidade, n soluçJio é im- 

 possível, porque a unidade não pode ser a diferença de duas potên- 

 cias inteiras do mesmo grau. 



Se ambas se reduzem à unidade, o grau de J*" — .y'' será dado 

 pelo primeiro termo do desenvolvimento de 2'^' + ^ que n?to c potên- 

 cia, de grau j), resultando ainda a impossibilidade. A reduçílo dos 

 três números à unidade é absurda. 



2.° Caso: 



.pp — yP = z'' .r o )/ ímpares, : = 2' A', 



tii'Uiio K ímpar. 



O caso anterior reduz-sy?» a ôate. porque das quantidades : a' e a', 

 uma dcbis é par e a outra ímj)aT. 



