140 JORNAL DE SCIÊNCIAS MATEMÁTICAS 



Logo as funções vectoriais c(z), siz) e t(s) sao periódicas ao 

 longo dura contorno poligonal fechado e o seu período é igual ao 

 perímetro do contorno. 



A esta espécie de periodicidade chamaremos periodicidade cur- 

 vilínea ou poligonal. 



H. — As vectoriais possuem ainda outra espécie de periodici- 

 dade que é a periodicidade rectilínea. 



Com efeito, pelo teorema da adição temos 



c{z-\-z') = c(z) + c{z') 

 s{z-{-z') = s(z)-\-s{z') 



ora quando a variável percorrer um caminho rectilíneo paralelo aos 

 eixos dos jj e dos ?/ temos 



z' =^ x' e s' = iy' ; 



mas, atendendo às expressões das vectoriais 



C(x') = X' , 8{x') = O 



c{iyi) = o , «(?>') = !/' 



logo 



s{z + x.i) = c(z) I ,^ 



c{z -f x'} = c{z) -f x' ] ^^ ' 



e 



s(z-i-iy') = 8{z)^iy' ] ^-" 



Quando a A^ariável percorrer n segmentos sucessivos paralelos 

 aos eixos, resulta 



s(z + nx')=^s(z) I ,., 



c(z-|-nx-') = c(3)-{-nx' ' '--' 



e 



c{z -f- 7iiy') =^ c{z) 

 c{z-\-ní.y') =s{z)-{-ny^ 



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Os segmentos x' e y' paralelos aos eixos são os períodos rectilí- 

 neos das vectoriais. A função s{z) tem um período real e a função 

 c{z) um período imaginário, sendo as suas amplitudes- completa- 

 mente arbitrárias. 



Quando as amplitudes dos períodos forem iguais às cordenadas 

 X Q y ào afixo da variável imaginária z, temos : 



s{z -\- nx) = s(z) ] 

 c{z -|- niy) = c)z) j 



e 



c(3 + nx)=(n + l) . c{z) 

 8{z + nhj) = (n -f 1) . s(z) 



(24) 

 (25) 



