FÍSICAS E NATURAIS 141 



As vectoriais são, pois, funções duplamente periódicas e os seus 

 períodos são um curvilíneo o outro rectilíneo, o que se exprime pelas 

 igualdades 



8(z -\-ml-{- nx) = s{z) 1 

 f(.- -f- wC -\- nly) = c{z) j 



O 



c[z + mX, + nx) = (n + 1) . 8{~) ) 



*(- -|- Tw^ + niij) = (n -|- 1) . s{z) \ 



(26) 

 (27) 



12. — As vectoriais s{z) e c{z) são funções duplamente periódicas 

 e a vectorial 



^ ^ c[z) 



é uma função triplamente periódica, admitindo um período curvilíneo 

 e dois períodos rectilíneos. Com efeito 



^ ^ '^ c(.~,+ «iQ c{z) 



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t(,- + »/C) = 7(-) 



A função t(^) admite o período curvilíneo. 



Esta vectorial não tem períodos curvilíneos por adição, mas 

 admite esses períodos por multiplicação. 



Com efeito, pelo teorema da multiplicação temos : 



c{zz')=c{z)c{z')-s{z)s(z') \ 

 s(-r') = s{z)s(z') + «(.)«(.') \ 



mas para 



temos 



c[x') = xJ , s{x') = o 



ci><j') = ^ ) c(///') = (/' 



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e{zx') = ,r' . c(.:) 



e em geral 



(28) 

 s{zxJ)=^x' . s{z) ' ^ ' 



(.29) 



c(.-.r'") = x'" . c(,r) I 



S(3.t.-'") = x''' . S(Z) ) 



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T(,^x'"j = T(~) (80) 



xi função z(z) admite por multiplicação um períoto rectilíneo 

 j)aralelo ao eixo dos x, ou um jyeríodo real. 



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