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142 JORNAL DE SCIÊNCIAS MATEMÁTICAS 







Quando a variável percorrer uni camiulio paralelo ao eixo dos 

 y, temos z' = 11/ e 



c(/í/') = o e 8{iyi) = ij' 



portanto 



'■(= • ^!/'} = — y'- «(=) / 



8{Z . i!/') == + i/' . C(=) ( 



e mudando z em z. iy' temos sucessivamente 



c[z. (<>')-'] = - y'-i . c{z) s[z. {i,/f] = (/'-' . 8{z) 



e portanto 



T(r V)=-^'(~-) = -;^ 



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r[z . (/y;3] = _ ,J(,) e .[z . W)^] = -f t(= ) 



e em geral 



.[.(ty)'-'"J=-T(-:; j 



(32; 



A função t(s) admite pois por multiplicação um período rectilí- 

 neo paralelo ao eixo dos ?/ ou um período imaginário, quando o ex- 

 poente fôr par, e torna-se igual à sua recíproca t'(s) com mudança 

 de sinal quando o expoente fôr ímpar. 



A funçílo vectorial z{z) é pois uma função triplamente periódica, 

 tendo um período curvilíneo por adição e dois períodos rectilíneos 

 paralelos aos eixos por multiplicação: 



^[z . x'" . [i,jf''-\-mX.]=-{z) (33) 



e 



T[.r . .f" . (Í2/)-" + ' + wC] = — t'( -) (34) 



A ordem da periodicidade ou a sucessão dos períodos não é inde- 

 pendente, começa pela ])eriodicidade curvilínea, seguida da periodici- 

 dade rectilínea real ou imaginária. 



15. — A função t(3) admite ainda, como período, a própria va- 

 riável. 



Com efeito, pelo teorema da adição, temos • 



«(2 + zi -r =2 -r + =n ) = «(= ) -f «(=1) -r «)=2) -- — «{^,), 



c(z-f=i-fr2-f -fsj = c(=)-i-c(r,)-f-e(=2)-;- ^c(z„), 



e para 

 resulta 



c{ra) ■=■ n . c(;) ) 

 c(n . z) =T H . fiz) I 



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