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In questo integrale definito duplicato consiste il teo- 

 rema di Legendre sulle funzioni ellittiche complete 

 di prima e seconda specie a moduli complementari, 

 infatti riproducendo l'integrale sotto la forma 



I I dauS = *— 



J o 'f o [/"i — (x^sen^Q . [/'i — p^sen^ 3 



e facendo uso della notazione di Legendre 



/do r 



~ , E («,$)= fd9iri-^u^seji 

 l/^i — c^sen^Q ^ ' J "^ 



e nel caso che sieno complete 



/hn do ^ na^ , 

 -,E(a=/ dOiTi—A^sen- 

 o l/^i — oC'sen^Q ^ J o 



sarà anche 



/sen^OdO ^ f^ , , t^ , ^^ 

 ? = ^ ( F a, e — E «, 



Perciò entro i convenuti luniti l'integrale si decom- 

 porrà nei seguenti 



*''/"•'" ''^^ F («) F m 



o J o l/'ì — oc^seu^O . l/"i — ^^sen^^ 



